R2 Uppgifter
Repetition av kapitel 2
Repetition av hela kapitel 2. Börja med sant eller falskt: svara, och motivera för dig själv innan du tittar. Sedan några uppgifter av varje sort från lektion 6–9, och sist ett provpass. Uppgifter du kör fast på länkar tillbaka till repetitionen, och därifrån vidare till lektionen där saken förklaras.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Sant eller falskt
Läs teorin: 1. Kapitlet på en sida →Skriv sant eller falskt. Ett svar utan motivering är värt noll på provet, så formulera en mening för dig själv innan du svarar.
Kedjeregeln
Läs teorin: 2. 2.1 Kedjeregeln →Produkt, kvot, ln och differentialekvationer
Läs teorin: 3. 2.2 Produkt, kvot, ln och differentialekvationer →Tillämpningar
Läs teorin: 4. 2.3 Tillämpningar →Skissa grafer
Läs teorin: 5. 2.4 Skissa grafer →Provpass, hela kapitlet
Fyra uppgifter som liknar ett prov. Sätt en klocka på 40 minuter, skriv fullständiga lösningar på papper, och rätta dig själv efteråt.
Derivera och förenkla:
a) $f(x) = \sin^3 2x$ b) $g(x) = x^2 e^{-x}$ c) $h(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$
a) Tre lager: $f'(x) = 3\sin^2 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = 6\sin^2 2x\cos 2x$.
b) $g'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = xe^{-x}(2 - x)$.
c) $h'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}$.
Svar
a) $6\sin^2 2x\cos 2x$ b) $xe^{-x}(2 - x)$ c) $\dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. 2.2 Produkt, kvot, ln och differentialekvationer →
Visa att $y = 4e^{-2x}$ är en lösning till $y' + 2y = 0$, och bestäm den lösning $y = Ce^{-2x}$ som uppfyller $y(0) = 7$.
$y' = -8e^{-2x}$, och $-8e^{-2x} + 2 \cdot 4e^{-2x} = 0$ ✓.
$y(0) = C = 7$, så $y = 7e^{-2x}$.
Svar
$y = 7e^{-2x}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. 2.2 Produkt, kvot, ln och differentialekvationer →
Bestäm största och minsta värde av $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ på intervallet $0 \le x \le 4$.
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$, noll för $x = 1$ och $x = 3$.
Kandidater: $f(0) = 0$, $f(1) = 4$, $f(3) = 0$, $f(4) = 64 - 96 + 36 = 4$.
Svar
Största värdet $4$ (i $x = 1$ och $x = 4$), minsta $0$ (i $x = 0$ och $x = 3$).
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. 2.3 Tillämpningar →
Funktionen $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$ är given. Bestäm asymptoter och extrempunkter, och skissa grafen.
$f(x) = x + \dfrac{9}{x}$, definierad för $x \ne 0$. Asymptoter $x = 0$ och $y = x$.
$f'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^2} = 0$ ger $x = \pm 3$. Teckentabell: $+$, $0$, $-$, ej def., $-$, $0$, $+$.
Maximipunkt $(-3, -6)$, minimipunkt $(3, 6)$. Två grenar som båda närmar sig $y = x$ långt ut.
Svar
Asymptoter $x = 0$ och $y = x$. Max $(-3, -6)$, min $(3, 6)$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. 2.4 Skissa grafer →