2.4 Uppgifter
Skissa grafer
Uppgifterna följer teorins avsnitt. Asymptoter svarar du på med talet eller uttrycket: för $x = 3$ skriver du 3, för $y = 2x + 1$ skriver du 2x+1. Flera svar skiljs åt med semikolon. Skissuppgifterna gör du på papper, och jämför sedan med lösningen.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Dominerande term
Läs teorin: 1. Dominerande term →Hur ser ändarna ut på graferna till a) $y = 3x^2 - x^4$ b) $y = x^3 - 100x^2$ c) $y = 5 - 2x^5$?
a) $-x^4$ dominerar: jämn exponent, negativt tecken. Båda ändarna nedåt.
b) $x^3$ dominerar långt ut, trots koefficienten $100$ på $x^2$: ned till vänster, upp till höger.
c) $-2x^5$: udda exponent, negativt tecken. Upp till vänster, ned till höger.
Svar
a) båda nedåt b) ned–upp c) upp–ned
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Dominerande term →
Asymptoter
Läs teorin: 2. Asymptoter →Har $y = \dfrac{\sin x}{x}$ någon vågrät asymptot? Och har $y = x + \dfrac{\sin x}{x}$ någon sned?
$|\sin x| \le 1$, så $\left|\dfrac{\sin x}{x}\right| \le \dfrac{1}{|x|} \to 0$. Alltså är $y = 0$ en vågrät asymptot, fast kurvan skär den oändligt många gånger.
Avståndet mellan $y = x + \dfrac{\sin x}{x}$ och linjen $y = x$ är $\dfrac{\sin x}{x}$, som går mot $0$. Så $y = x$ är en sned asymptot.
Svar
Ja, $y = 0$ respektive $y = x$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Asymptoter →
Bestäm alla asymptoter till $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ och $g(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x - 2}$.
$f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ för $x \ne 2$. En linje med ett hål i $(2, 4)$. Inga asymptoter.
$g$: täljaren är $8 \ne 0$ i $x = 2$, så $x = 2$ är en lodrät asymptot. Division: $x^2 + 4 = (x - 2)(x + 2) + 8$, så $g(x) = x + 2 + \dfrac{8}{x - 2}$, och $y = x + 2$ är en sned asymptot.
Svar
$f$ saknar asymptoter. $g$ har $x = 2$ och $y = x + 2$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Asymptoter →
Skissa med derivata och asymptoter
Läs teorin: 3. Skissa med derivata och asymptoter →Skissa grafen till $y = 2x + \dfrac{8}{x}$. Ange asymptoter och extrempunkter.
Definitionsmängd: $x \ne 0$.
$y' = 2 - \dfrac{8}{x^2} = 0$ ger $x^2 = 4$, alltså $x = \pm 2$. Teckentabell: $+$, $0$, $-$, ej def., $-$, $0$, $+$.
Maximipunkt $(-2, -8)$ och minimipunkt $(2, 8)$.
Asymptoter: $x = 0$ och $y = 2x$, eftersom $\dfrac{8}{x} \to 0$.
Svar
Max $(-2, -8)$, min $(2, 8)$, asymptoter $x = 0$ och $y = 2x$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Skissa med derivata och asymptoter →
Skissa grafen till $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$.
Ledtråd
Skriv först $x^2 = (x - 1)(x + 1) + 1$, så blir både derivatan och asymptoterna enklare.
$f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$, definierad för $x \ne 1$.
Asymptoter: $x = 1$ och $y = x + 1$.
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = 0$ ger $(x - 1)^2 = 1$, alltså $x = 0$ eller $x = 2$.
Teckentabell: $f' > 0$ för $x < 0$, $< 0$ mellan $0$ och $1$ och mellan $1$ och $2$, $> 0$ för $x > 2$. Maximipunkt $(0, 0)$, minimipunkt $(2, 4)$.
Svar
Max $(0, 0)$, min $(2, 4)$, asymptoter $x = 1$ och $y = x + 1$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Skissa med derivata och asymptoter →
Absolutbeloppet som funktion
Läs teorin: 4. Absolutbeloppet som funktion →Skriv $y = |3x + 6|$ utan beloppstecken, uppdelat i två fall, och skissa grafen. Var är funktionen inte deriverbar?
$3x + 6 \ge 0$ när $x \ge -2$. Där är $y = 3x + 6$.
För $x < -2$ är $y = -(3x + 6) = -3x - 6$.
Grafen är ett V med spetsen i $(-2, 0)$. I spetsen saknas tangent, så funktionen är inte deriverbar för $x = -2$.
Svar
$y = 3x + 6$ för $x \ge -2$, $y = -3x - 6$ för $x < -2$. Ej deriverbar i $x = -2$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Absolutbeloppet som funktion →
Lös ekvationen $|x - 1| = 2x$.
Ledtråd
Pröva båda fallen, och kontrollera sedan varje lösning i den ursprungliga ekvationen. Kan högerledet vara negativt?
Fall 1: $x - 1 = 2x$ ger $x = -1$. Kontroll: $|-2| = 2$ men $2x = -2$. Duger inte.
Fall 2: $x - 1 = -2x$ ger $x = \dfrac{1}{3}$. Kontroll: $\left|-\dfrac{2}{3}\right| = \dfrac{2}{3} = 2 \cdot \dfrac{1}{3}$ ✓.
Ett absolutbelopp är aldrig negativt, så $2x$ måste vara $\ge 0$. Det fäller $x = -1$ direkt.
Svar
$x = \dfrac{1}{3}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Absolutbeloppet som funktion →
Ange värdemängd och period för $y = |\sin x|$ och $y = |2\cos x|$.
$|\sin x|$: värdemängd $0 \le y \le 1$, period $\pi$.
$|2\cos x|$: värdemängd $0 \le y \le 2$, period $\pi$. Speglingen gör att varje halv period ser likadan ut.
Svar
$0 \le y \le 1$ och $0 \le y \le 2$, båda med perioden $\pi$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Absolutbeloppet som funktion →
Blandat, som på tentan
Uppgifter i tentastil. Skriv lösningarna på papper med motiveringar innan du tittar.
Bestäm alla asymptoter till $f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 9}$.
Lodräta: $x^2 = 9$ ger $x = 3$ och $x = -3$. Täljaren är $19 \ne 0$ där.
Vågrät: dividera med $x^2$, $f(x) = \dfrac{2 + 1/x^2}{1 - 9/x^2} \to 2$.
Svar
$x = 3$, $x = -3$ och $y = 2$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Asymptoter →
Funktionen $f(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x}$ är given.
a) Bestäm asymptoterna. b) Bestäm extrempunkterna och deras karaktär. c) Skissa grafen.
a) $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$. Asymptoter $x = 0$ och $y = x$.
b) $f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = 0$ ger $x = \pm 2$. Teckentabell: max i $(-2, -4)$, min i $(2, 4)$.
c) Två grenar på var sin sida om $y$-axeln, båda närmar sig $y = x$ långt ut.
Svar
Asymptoter $x = 0$, $y = x$. Max $(-2, -4)$, min $(2, 4)$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Skissa med derivata och asymptoter →
Lös ekvationen $|2x - 5| = x + 1$.
Fall 1: $2x - 5 = x + 1$ ger $x = 6$. Kontroll: $|7| = 7 = 6 + 1$ ✓.
Fall 2: $2x - 5 = -(x + 1)$ ger $3x = 4$, $x = \dfrac{4}{3}$. Kontroll: $\left|-\dfrac{7}{3}\right| = \dfrac{7}{3} = \dfrac{4}{3} + 1$ ✓.
Svar
$x = 6$ eller $x = \dfrac{4}{3}$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Absolutbeloppet som funktion →