Kapitlet på en sida
Fyra lektioner, en enda idé.
| lektion | kärnan | läs igen |
|---|---|---|
| 1.1 | Sinus och cosinus är koordinater. Två lösningar per varv. | Enhetscirkeln, Ekvationer |
| 1.2 | Formler för att byta ut ett uttryck mot ett annat. | Ettan, Dubbla vinkeln |
| 1.3 | Fyra tal beskriver en kurva: $A$, $k$, $v$, $B$. | Förskjutna kurvor |
| 1.4 | Samma sak, vinkeln mätt i radianer. | Grader och radianer |
Frågorna nedan är av två slag: snabba sant eller falskt, som ska gå på några sekunder, och djupare frågor, där det lönar sig att rita först. Gör alla innan du går till uppgifterna.
1.1 Enhetscirkeln och ekvationerna
Rita cirkeln, så följer resten.
Tecknet för $\sin v$ och $\cos v$ läser du av i figuren. Varje ekvation $\sin v = c$ eller $\cos v = c$ har två lösningar per varv (om $-1 < c < 1$):
| ekvation | andra lösningen |
|---|---|
| $\sin v = c$ | $180^\circ - v_1$ (spegla i $y$-axeln) |
| $\cos v = c$ | $-v_1$ (spegla i $x$-axeln) |
| $\tan v = c$ | perioden är $180^\circ$ |
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Vinklarna $28^\circ$, $152^\circ$ och $388^\circ$ har alla samma sinusvärde.
- Varför lockar det svaret? Missar antingen symmetrin 180° − v eller perioden 360° — oftast den ena av dem, inte båda.
Två samband, båda ur enhetscirkeln:
Alla tre ger $\approx 0{,}47$. Sant.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Om $\cos x = 0$ så är $\sin x = 1$.
- Varför lockar det svaret? Tänker bara på x = 90° och glömmer x = 270°. Samma halva svar som i lektion 2 — ekvationen ger två kandidater, inte en.
$\cos x = 0$ ger $x = 90^\circ$ eller $x = 270^\circ$.
Alltså $\sin x = \pm 1$. Falskt.
Trigonometriska ettan säger samma sak: $\sin^2 x = 1 - 0 = 1$, och en kvadrat har alltid två rötter.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Hur många lösningar har ekvationen $$\sin v = 0{,}6$$ i intervallet $0^\circ \le v \le 720^\circ$?
- Varför lockar det svaret? Räknarens svar och inget mer. Det är det vanligaste poängtappet i hela kapitlet. Läs grundekvationen för sinus igen om du valde det här.
- Varför lockar det svaret? Löser för ett varv och missar att intervallet är två varv långt.
- Varför lockar det svaret? Dubblar två gånger, både för symmetrin och för det andra varvet, fast symmetrin redan är inräknad.
Per varv finns två lösningar: $$v_1 = 36{,}9^\circ \qquad v_2 = 180^\circ - 36{,}9^\circ = 143{,}1^\circ$$
Intervallet $0^\circ$–$720^\circ$ är två varv, så vi lägger till $360^\circ$: $$36{,}9^\circ, \quad 143{,}1^\circ, \quad 396{,}9^\circ, \quad 503{,}1^\circ$$
Fyra lösningar.
Grundekvationen, en gång till
Dra i $c$ och säg antalet lösningar högt innan animationen visar det. Byt sedan till cosinus: vad ändras?
1.2 Formlerna
Formler byter ut uttryck. De räknar sällan ut tal.
De här står på formelbladet. Det du måste kunna är att välja rätt formel och sätta in rätt.
Alla finns också under Formler i menyn, med länk till var de förklaras.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Perioden för $y = \sin 2x$ är $720^\circ$.
- Varför lockar det svaret? Multiplicerar med $k$ i stället för att dividera. Större $k$ ger tätare svängningar, alltså kortare period.
Falskt. Större $k$ ger kortare period — kurvan svänger tätare, inte glesare.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
För en vinkel $x$ gäller $\sin x = 0{,}8$ och $\cos x = -0{,}6$.
Vad är $\sin 2x$?
- Varför lockar det svaret? Tror att sin 2x = 2 sin x. Dessutom omöjligt: sinus ligger alltid mellan −1 och 1.
- Varför lockar det svaret? Rätt formel men tappar faktorn 2.
- Varför lockar det svaret? Adderar de givna talen i stället för att använda formeln.
Två gratiskontroller:
- $|\sin 2x| \le 1$ — det utesluter $1{,}6$ direkt
- positivt gånger negativt ger negativt — det utesluter $0{,}2$
Punkten $(-0{,}6;\ 0{,}8)$ ligger i andra kvadranten. Kontroll med ettan: $0{,}8^2 + (-0{,}6)^2 = 0{,}64 + 0{,}36 = 1$ ✓
1.3 Kurvorna
Fyra tal, och frågan var toppen hamnar.
För $y = A\sin k(x + v) + B$:
| $\lvert A \rvert$ | amplitud $= \dfrac{\text{största} - \text{minsta}}{2}$ |
| $k$ | period $= \dfrac{360^\circ}{k}$ eller $\dfrac{2\pi}{k}$ |
| $v$ | sidled: vänster om $v > 0$ |
| $B$ | höjdled: upp om $B > 0$ |
Och $a\sin x + b\cos x = c\sin(x + v)$ med $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Funktionen $y = 2\cos 3x - 2$ har minimivärdet $0$.
- Varför lockar det svaret? Hittar rätt tal men fel ändpunkt: 0 är funktionens STÖRSTA värde, inte det minsta.
$\cos 3x$ ligger mellan $-1$ och $1$, så $2\cos 3x$ ligger mellan $-2$ och $2$. Minus $2$ flyttar hela intervallet nedåt:
Minimivärdet är $-4$ och maximivärdet är $0$. Falskt.
Konstanten $k = 3$ påverkar inte alls — den ändrar bara perioden.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Hur ligger kurvan $$y = 3\sin(x + 45^\circ) - 2$$ i förhållande till $y = 3\sin x$?
- Varför lockar det svaret? Läser plustecknet i parentesen som höger. Riktningen i sidled är omvänd mot vad tecknet antyder.
- Varför lockar det svaret? Rätt i sidled, fel i höjdled — kastar om tecknet på B.
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop vilken konstant som gör vad.
Sidled: $3\sin(x + 45^\circ)$ toppar när $x + 45^\circ = 90^\circ$, alltså vid $x = 45^\circ$ — tidigare än $y = 3\sin x$. Kurvan har flyttat åt vänster.
Höjdled: $-2$ sänker hela kurvan två steg.
Amplituden $3$ är oförändrad. Konstanterna framför och inuti gör olika saker.
Förskjutningar, en gång till
Sätt $v$ till $+45^\circ$ och $-45^\circ$ växelvis. Säg riktningen högt innan du tittar på texten. Det är den riktningen som glöms.
1.4 Radianer
Ett tal utan gradtecken är radianer.
$$180^\circ = \pi$$ Grundekvationerna är desamma med $360^\circ \to 2\pi$ och $180^\circ \to \pi$. För sinus är den andra lösningen $\pi - v_1$, för cosinus $-v_1$ (i intervallet $2\pi - v_1$).
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
$\sin 4$ är mindre än noll.
- Varför lockar det svaret? Läser 4 som 4 grader. Då blir sinus positivt — men utan gradtecken är talet radianer.
Utan gradtecken är $4$ ett antal radianer.
Det ligger i tredje kvadranten, där $y < 0$. Alltså $\sin 4 \approx -0{,}76 < 0$. Sant.
Jämför: $\sin 4^\circ \approx +0{,}07$. Gradtecknet ändrar allt.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Ekvationen $\tan x = a$ har alltid en lösning, oavsett värdet på $a$.
- Varför lockar det svaret? Överför begränsningen −1 ≤ sin x ≤ 1 till tangens. Men tangens är en kvot och antar alla reella värden.
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ är en kvot, inte en koordinat. När $\cos x$ går mot noll växer kvoten obegränsat.
Tangenskurvan går från $-\infty$ till $+\infty$ mellan varje par av asymptoter, så varje vågrät linje $y = a$ skär den. Sant.
Kontrast: $\sin x = 2$ och $\cos x = 2$ saknar lösning, eftersom de värdena är koordinater på enhetscirkeln.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Ekvationen $\cos x = 0{,}4$ har lösningen $x_1 = \arccos 0{,}4 \approx 1{,}16$.
Vilken är den andra lösningen i intervallet $0 \le x \le 2\pi$?
- Varför lockar det svaret? Sinusregeln använd på cosinus. Den som memorerat π − v₁ från förra lektionen utan att koppla den till speglingen svarar så här.
- Varför lockar det svaret? Speglar i origo i stället för i x-axeln. Ger cos x = −0,4.
- Varför lockar det svaret? Rätt symmetri, men svaret ligger utanför det angivna intervallet — måste flyttas ett varv.
Cosinus är $x$-koordinaten. Samma $x$-värde fås genom spegling i $x$-axeln, alltså $-x_1$. Flyttat in i intervallet:
Kontroll: $\cos 5{,}12 \approx 0{,}40$ ✓, medan $\cos 1{,}98 \approx -0{,}40$ ✗.
| andra lösningen | |
|---|---|
| $\sin x = c$ | $\pi - x_1$ |
| $\cos x = c$ | $-x_1$, i intervallet $2\pi - x_1$ |
Inför provet
Tre vanor som ger poäng på vilken uppgift som helst.
- Rita enhetscirkeln. Tecken och andra lösningar följer ur figuren.
- Rimlighetskontroll. $|\sin| \le 1$ och $|\cos| \le 1$, alltid. Ett svar utanför är fel, utan att du behöver leta efter felet.
- Kontrollera enheten. Grader eller radianer? Står räknaren rätt?
Och om tiden räcker: sätt in svaret i den ursprungliga ekvationen.
Hitta felet, halva lösningen
En elev skriver: "$\sin x = 0{,}3$ ger $x = \arcsin 0{,}3 \approx 17{,}5^\circ$. Svar: $x \approx 17{,}5^\circ + n \cdot 360^\circ$." Vad saknas?
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Rita linjen $y = 0{,}3$ genom enhetscirkeln. Den skär cirkeln två gånger per varv, så svaret måste ha två familjer.
Den andra är speglingen i $y$-axeln: $180^\circ - 17{,}5^\circ = 162{,}5^\circ$.
$x \approx 17{,}5^\circ + n \cdot 360^\circ$ och $x \approx 162{,}5^\circ + n \cdot 360^\circ$.
En ekvation där formvalet avgör
Lös $\cos 2x = \cos x$ för $0 \le x \le 2\pi$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Välj den form av $\cos 2x$ som bara innehåller det du har, $\cos x$: $$2\cos^2 x - 1 = \cos x \iff 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$$
Faktorisera: $(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$. Kontrollera gärna genom att multiplicera ut.
$\cos x = 1$ ger $x = 0$ och $x = 2\pi$. $\cos x = -\tfrac{1}{2}$ ger $x = \dfrac{2\pi}{3}$ och $x = \dfrac{4\pi}{3}$.
Sammanfattning
- $P = (\cos v, \sin v)$ är kapitlets kärna.
- Två lösningar per varv: sinus speglas i $y$-axeln, cosinus i $x$-axeln. Lägg till perioden.
- Formlerna byter ut uttryck. Ettan ger storleken, kvadranten tecknet.
- En kurva beskrivs av $A$, $k$, $v$, $B$. Fråga var toppen hamnar.
- $180^\circ = \pi$. Ett tal utan gradtecken är radianer.
- Rita, kontrollera rimligheten, kontrollera enheten.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
Konstruera en sant-eller-falskt-fråga
Gör en egen sant-eller-falskt-fråga om kapitel 1 som du tror kan lura en kurskamrat. Vilket vanligt fel bygger den på?
Ett sätt att tänka
De bästa frågorna bygger på ett fel som man faktiskt gör: tecknet i en kvadrant, perioden $360^\circ/k$, dubbla vinkeln, riktningen i sidled. Att konstruera fällan kräver att du förstår den, och det är därför övningen fungerar.
Checklista för att läsa av en graf
Gör en checklista i högst fyra steg: hur läser man av $A$, $k$, $v$ och $B$ ur en graf, och i vilken ordning?
Ett sätt att tänka
En rimlig ordning: 1) mittlinjen $B = \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}$, 2) amplituden $A = \dfrac{\text{max} - \text{min}}{2}$, 3) perioden från topp till topp, som ger $k$, 4) förskjutningen ur en topps läge. Kontrollera till sist att $B \pm A$ ger tillbaka största och minsta värdet.
Gör en provuppgift
Konstruera en uppgift av typen "Bestäm största värdet av $y = a\sin x + b\cos x$" där svaret blir ett heltal.
Ett sätt att tänka
Du behöver tal där $\sqrt{a^2 + b^2}$ blir ett heltal, alltså pythagoreiska tripplar: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$. Ett minustecken på $b$ ändrar ingenting i $c$.
Radianer eller grader?
Vilka delar av kapitlet blir enklast i radianer, vilka i grader, och var spelar det ingen roll?
Ett sätt att tänka
Modeller och båglängder är enklast i radianer. Vardagsvinklar och skisser är lättast att tänka på i grader. Referensvinklar och exakta värden är samma arbete i båda. Och i nästa kapitel blir radianer nödvändiga: derivatan av $\sin x$ är $\cos x$ bara i radianer.