Sinus, cosinus och tangens i en triangel
Vi börjar där du redan har varit, i den rätvinkliga triangeln.
I en rätvinklig triangel har sidorna namn sett från vinkeln $v$:
- $a$ är den motstående kateten, den ligger mitt emot $v$
- $b$ är den närliggande kateten, den ligger bredvid $v$
- $c$ är hypotenusan, den längsta sidan, mitt emot den räta vinkeln
Tre kvoter mellan sidorna har egna namn.
Motstående genom hypotenusan, närliggande genom hypotenusan, motstående genom närliggande.
Men varför skulle en kvot mellan två sidor vara intressant? Titta på två trianglar med samma vinkel men olika storlek och gissa innan du läser vidare.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Två rätvinkliga trianglar är likformiga. Den mindre har hypotenusan $5$, den större har hypotenusan $10$. Vinkeln $v$ är densamma i båda.
Hur förhåller sig $\sin v$ i den större triangeln till $\sin v$ i den mindre?
- Varför lockar det svaret? Tror att sinusvärdet skalar med triangelns storlek — blandar ihop en kvot med en längd.
- Varför lockar det svaret? Samma grundfel som A, fast åt andra hållet.
- Varför lockar det svaret? Ser inte att likformighet ensam låser alla kvoter.
$\sin v = \dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusan}}$ är en kvot. I likformiga trianglar skalas täljare och nämnare med samma faktor, så kvoten ändras inte: $\tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{10} = 0{,}6$.
Vinkeln — inte storleken — bestämmer värdet.
Därför får vi välja hypotenusan precis som vi vill. Väljer vi $1$ blir $\sin v$ och $\cos v$ ingenting annat än koordinater för en punkt. Det är hela idén med enhetscirkeln.
Förstora triangeln så växer både motstående katet och hypotenusa med samma faktor. Kvoten står still: $$\sin v = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$$
Repetera Likformiga trianglar
Två trianglar är likformiga om de har samma vinklar. Då är den ena en förstoring av den andra: alla sidor är multiplicerade med samma tal, skalfaktorn.
Om sidorna $3$ och $5$ förstoras med skalfaktorn $2$ blir de $6$ och $10$. Kvoten ändras inte: $$\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$$
Från värde till vinkel
Ibland känner man sidorna och söker vinkeln. Då går man baklänges med arcus-funktionerna:
På räknaren heter knappen oftast $\sin^{-1}$. Det betyder "den vinkel vars sinus är …" och har ingenting med $\dfrac{1}{\sin v}$ att göra.
Hur brant står stegen?
En $4{,}0$ m lång stege står lutad mot en vägg. Stegens fot står $1{,}5$ m från väggen. Vilken vinkel bildar stegen med marken?
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Rita! Stegen är hypotenusan, $c = 4{,}0$. Avståndet till väggen ligger längs marken, alltså bredvid vinkeln vid marken: den närliggande kateten, $b = 1{,}5$.
Närliggande och hypotenusa: det är cosinus. $$\cos v = \frac{1{,}5}{4{,}0} = 0{,}375$$
Gå baklänges med arccos: $$v = \arccos 0{,}375 \approx 68^\circ$$
Rimligt? En stege som står nästan rakt upp har en vinkel nära $90^\circ$, en som ligger ner har nära $0^\circ$. Foten står ganska nära väggen, så en ganska brant vinkel är rimlig.
Ungefär $68^\circ$.
Allt det här fungerar bara för vinklar mellan $0^\circ$ och $90^\circ$, eftersom en rätvinklig triangel inte kan ha någon större spetsig vinkel. Vad är $\sin 150^\circ$? Eller $\cos(-40^\circ)$? För att svara behöver vi en bättre definition. Den kommer nu.
Enhetscirkeln
Välj hypotenusan 1. Då blir sinus och cosinus koordinater.
Lägg triangeln i ett koordinatsystem med vinkeln $v$ i origo och låt hypotenusan vara $1$. Då hamnar spetsen $P$ på en cirkel med radien $1$: enhetscirkeln.
Med $c = 1$ försvinner nämnaren:
Nu behöver vi ingen triangel längre. Vinkeln $v$ får betyda en vridning: börja på positiva $x$-axeln och vrid moturs $v$ grader. Där du stannar på cirkeln ligger punkten $P$. Det fungerar för vilken vinkel som helst: $150^\circ$, $300^\circ$ eller $1000^\circ$.
Enhetscirkeln
Dra i punkten runt cirkeln. Stanna i var och en av de fyra kvadranterna och fråga dig: är $\sin v$ positivt eller negativt här? Och $\cos v$? Knappen Exakta vinklar låser punkten vid $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ och så vidare. Den behöver du i sista avsnittet.
Koordinataxlarna delar cirkeln i fyra kvadranter, numrerade moturs med början uppe till höger.
Tecknet för $\sin v$ och $\cos v$ följer direkt av var punkten ligger: till vänster om $y$-axeln är $x$ negativt, under $x$-axeln är $y$ negativt.
| Kvadrant | Vinkel | $\cos v$ | $\sin v$ |
|---|---|---|---|
| I | $0^\circ < v < 90^\circ$ | $+$ | $+$ |
| II | $90^\circ < v < 180^\circ$ | $-$ | $+$ |
| III | $180^\circ < v < 270^\circ$ | $-$ | $-$ |
| IV | $270^\circ < v < 360^\circ$ | $+$ | $-$ |
Lär dig inte tabellen utantill. Titta på figuren och läs av den.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Låt $v = 150^\circ$. Vilket påstående är sant?
- Varför lockar det svaret? Antar att tecknen alltid följs åt.
- Varför lockar det svaret? Tar andra kvadranten för den tredje.
- Varför lockar det svaret? Kastar om sin och cos — läser x-koordinaten som sinus.
Vid $150^\circ$ ligger punkten uppe till vänster: $y > 0$ men $x < 0$.
Ingen regel behövs — läs av figuren.
Vinklarna på axlarna
Bestäm $\sin v$ och $\cos v$ för $v = 0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ$ och $270^\circ$ utan räknare.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Vid $0^\circ$ har vi inte vridit alls. Punkten är $(1, 0)$, så $\cos 0^\circ = 1$ och $\sin 0^\circ = 0$.
Ett kvarts varv moturs, $90^\circ$, tar oss rakt upp till $(0, 1)$: $\cos 90^\circ = 0$ och $\sin 90^\circ = 1$.
Ett halvt varv, $180^\circ$, ger $(-1, 0)$ och tre kvarts varv, $270^\circ$, ger $(0, -1)$.
| $v$ | $0^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ |
|---|---|---|---|---|
| $\cos v$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\sin v$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
Eftersom punkten ligger på en cirkel med radien $1$ kan varken $x$ eller $y$ vara större än $1$ eller mindre än $-1$: $$-1 \le \sin v \le 1 \qquad -1 \le \cos v \le 1$$ Det här är en rimlighetskontroll som du kommer att använda hela kursen. Får du $\sin v = 1{,}2$ har något gått fel.
Vridning och period
Ett varv till, och du är tillbaka där du började.
Ett helt varv är $360^\circ$ och tar oss tillbaka till samma punkt. Därför landar $50^\circ$ och $410^\circ = 50^\circ + 360^\circ$ på samma ställe och har samma sinus- och cosinusvärde.
En negativ vinkel betyder att vi vrider medurs i stället. $-35^\circ$ hamnar på samma ställe som $360^\circ - 35^\circ = 325^\circ$.
Här är $n$ ett godtyckligt heltal: $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ Man säger att sinus och cosinus har perioden $360^\circ$ och tangens perioden $180^\circ$.
Varför bara $180^\circ$ för tangens? Punkten för $v + 180^\circ$ ligger mitt emot punkten för $v$, på andra sidan origo. Både $x$ och $y$ byter tecken, men kvoten $\dfrac{y}{x}$ blir densamma.
Vrid tillbaka till första varvet
Bestäm exakt: a) $\sin 750^\circ$ b) $\cos(-300^\circ)$
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
a) Dra bort hela varv tills vinkeln ligger mellan $0^\circ$ och $360^\circ$: $750^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 30^\circ$. Alltså är $\sin 750^\circ = \sin 30^\circ$.
b) Lägg till ett helt varv: $-300^\circ + 360^\circ = 60^\circ$, så $\cos(-300^\circ) = \cos 60^\circ$.
Värdena för $30^\circ$ och $60^\circ$ tar vi fram i sista avsnittet. Där visar vi att $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$.
a) $\tfrac{1}{2}$ b) $\tfrac{1}{2}$
Från cirkel till kurva
Punkten går runt enhetscirkeln medan dess höjd, alltså $\sin v$, ritas upp som en kurva. Låt den gå ett helt varv. Vad händer när vinkeln passerar $360^\circ$? Kurvan börjar om från början. Det är perioden. Knappen Visa cosinus gör samma sak med $x$-koordinaten. Kurvan ser likadan ut, bara förskjuten. Mer om det i lektion 1.3.
Trigonometriska ekvationer
Räknaren ger dig ett svar. Cirkeln visar att det finns fler.
En trigonometrisk ekvation frågar baklänges: vilka vinklar ger ett visst värde? Börja med en gissning, innan någon förklaring hunnit påverka dig.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Hur många lösningar har ekvationen $$\sin v = 0{,}5$$ i intervallet $0^\circ \le v \le 360^\circ$?
- Varför lockar det svaret? Stannar vid räknarens svar. Det vanligaste felet i hela avsnittet — och det som kostar poäng på provet.
- Varför lockar det svaret? Tror att det finns en lösning i varje kvadrant.
- Varför lockar det svaret? Missar att intervallet är begränsat. Rätt svar om man tar bort intervallet — värt att säga högt.
Två punkter, symmetriskt kring $y$-axeln: $$v_1 = 30^\circ \qquad v_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$
Båda har samma höjd över $x$-axeln, alltså samma sinusvärde.
Med perioden $360^\circ$ blir samtliga lösningar $$v = 30^\circ + n \cdot 360^\circ \quad \text{och} \quad v = 150^\circ + n \cdot 360^\circ$$
Lös grundekvationen
Linjen $y = c$ skär enhetscirkeln där $\sin v = c$. Dra långsamt i $c$ från $0$ mot $1$. De två lösningarna närmar sig varandra och smälter ihop vid $c = 1$. Fortsätt förbi $1$: nu missar linjen cirkeln helt, och ekvationen saknar lösning. Byt sedan till cosinus. Då speglas lösningarna i $x$-axeln i stället.
Linjen $y = 0{,}5$ skär cirkeln i två punkter. Räknarens $\arcsin 0{,}5 = 30^\circ$ hittar bara den ena. Den andra ligger spegelvänd i $y$-axeln, vid $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Vinklarna $v$ och $180^\circ - v$ är speglingar i $y$-axeln. De har samma höjd, alltså samma sinusvärde: $$\sin(180^\circ - v) = \sin v$$ Lägg till perioden, så har vi alla lösningar.
där $v_1 = \arcsin c$. Lösning finns bara om $-1 \le c \le 1$.
Lös $\sin v = 0{,}3$
Lös ekvationen $\sin v = 0{,}3$. Ange alla lösningar, och sedan de som ligger i intervallet $0^\circ \le v \le 360^\circ$. Avrunda till en decimal.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Räknaren ger den första: $v_1 = \arcsin 0{,}3 \approx 17{,}5^\circ$.
Den andra har samma höjd, speglad i $y$-axeln: $180^\circ - 17{,}5^\circ = 162{,}5^\circ$.
Alla lösningar: $$v \approx 17{,}5^\circ + n \cdot 360^\circ \quad\text{eller}\quad v \approx 162{,}5^\circ + n \cdot 360^\circ$$
I intervallet: välj $n = 0$ i båda. Med $n = 1$ hamnar vi utanför.
Alla lösningar: $v \approx 17{,}5^\circ + n \cdot 360^\circ$ och $v \approx 162{,}5^\circ + n \cdot 360^\circ$. I intervallet: $17{,}5^\circ$ och $162{,}5^\circ$.
Cosinus: spegla i x-axeln
För cosinus är det $x$-koordinaten som ska vara lika. Två punkter har samma $x$ när de är speglingar i $x$-axeln, alltså $v$ och $-v$: $$\cos(-v) = \cos v$$
Tangens har bara en familj av lösningar, eftersom perioden $180^\circ$ redan tar oss till punkten mitt emot.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
En elev löser $\cos v = 0{,}3$, får $v_1 = \arccos(0{,}3) \approx 72^\circ$ och skriver den andra lösningen i intervallet $0^\circ$–$360^\circ$ som $180^\circ - v_1$.
Vad borde det stå?
- Varför lockar det svaret? Använder sinusregeln på cosinus — de två grundekvationerna smälter ihop.
- Varför lockar det svaret? Minns att något ska adderas, men speglar i fel axel.
- Varför lockar det svaret? Blandar in komplementvinkelsambandet cos v = sin(90° − v).
Samma $x$-koordinat betyder spegling i $x$-axeln, alltså $-v_1$. I intervallet $0^\circ$–$360^\circ$ skrivs det $360^\circ - v_1 \approx 288^\circ$. Kontrollera gärna på räknaren: $\cos 288^\circ \approx 0{,}309$.
| ekvation | andra lösningen |
|---|---|
| $\sin v = c$ | $180^\circ - v_1$ (spegla i $y$-axeln) |
| $\cos v = c$ | $-v_1$ (spegla i $x$-axeln) |
Lär dig inte tabellen. Läs av den ur cirkeln varje gång.
Negativt högerled
Lös $2\sin v + 1 = 0$ för $0^\circ \le v \le 360^\circ$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Skriv om till en grundekvation: $\sin v = -\tfrac{1}{2}$.
Räknaren ger $v_1 = \arcsin\left(-\tfrac12\right) = -30^\circ$. Den ligger utanför intervallet, men är en helt giltig lösning. Vi har bara vridit medurs.
Den andra familjen: $180^\circ - (-30^\circ) = 210^\circ$.
Flytta in i intervallet med perioden: $-30^\circ + 360^\circ = 330^\circ$ och $210^\circ$ ligger redan rätt.
Kontroll med figuren: $\sin v < 0$ betyder under $x$-axeln, alltså kvadrant III och IV. $210^\circ$ och $330^\circ$ ligger där. ✓
$v = 210^\circ$ och $v = 330^\circ$.
En tangensekvation
Lös $\tan v = 2$. Avrunda till en decimal.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$v_1 = \arctan 2 \approx 63{,}4^\circ$.
Tangens har perioden $180^\circ$, så alla lösningar ges av en enda formel.
När finns det ingen lösning?
Ekvationen $\sin v = 1{,}4$ saknar lösning. Linjen $y = 1{,}4$ ligger ovanför cirkeln och skär den aldrig. Samma sak gäller $\sin v = -2$ och $\cos v = 1{,}01$. Kolla alltid att högerledet ligger mellan $-1$ och $1$ innan du börjar räkna.
För den nyfikne Vilken vinkel väljer räknaren?
$\arcsin$ måste välja en vinkel, annars vore den ingen funktion. Den väljer alltid den som ligger närmast $0^\circ$:
- $\arcsin c$ ligger mellan $-90^\circ$ och $90^\circ$ (höger halva av cirkeln)
- $\arccos c$ ligger mellan $0^\circ$ och $180^\circ$ (övre halvan)
- $\arctan c$ ligger mellan $-90^\circ$ och $90^\circ$
Därför kan räknaren ge $-30^\circ$ när du letar efter $330^\circ$. Båda är rätt. Det är bara olika varv.
Symmetrier och exakta värden
Tre vinklar och lite spegling ger dig exakta värden runt hela cirkeln.
Varje punkt på cirkeln har tre speglingar: i $y$-axeln, i origo och i $x$-axeln. Speglingarna har samma koordinater, bara med andra tecken.
Varje formel nedan är en mening om figuren. Täck över formeln, titta på figuren och försök säga den själv.
Spegling i $y$-axeln, i origo, och i $x$-axeln, i den ordningen.
Det finns en fjärde spegling, i linjen $y = x$. Den byter plats på $x$ och $y$, och därmed på cosinus och sinus: $$\sin(90^\circ - v) = \cos v \qquad \cos(90^\circ - v) = \sin v$$ Vinklarna $v$ och $90^\circ - v$ kallas komplementvinklar. Sinus för den ena är cosinus för den andra. Namnet co-sinus kommer faktiskt därifrån: komplementets sinus.
Två trianglar ger alla exakta värden
För några få vinklar kan sinus och cosinus skrivas exakt, utan decimaler. Allt kommer ur två trianglar och Pythagoras sats.
Halv kvadrat. Dela en kvadrat med sidan $1$ längs diagonalen. Vinklarna blir $45^\circ$, och Pythagoras ger diagonalen $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ Alltså är $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Halv liksidig triangel. Dela en liksidig triangel med sidan $2$ mitt itu. Vinklarna blir $30^\circ$ och $60^\circ$, den korta kateten $1$, och höjden $$\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$ Läs av kvoterna, till exempel $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$.
| $v$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin v$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos v$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan v$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ och $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ är samma tal: förläng med $\sqrt{2}$. Båda skrivsätten är rätt.
$30^\circ$, $45^\circ$ och $60^\circ$ ligger i första kvadranten. Med speglingarna får vi exakta värden runt hela cirkeln, alltid i två steg:
- Referensvinkel: hur långt är det till närmaste del av $x$-axeln? Det ger storleken.
- Kvadrant: var ligger punkten? Det ger tecknet.
Exakta värden i andra varv
Bestäm exakt: a) $\sin 240^\circ$ b) $\cos 315^\circ$
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
a) $240^\circ$ ligger i tredje kvadranten, $60^\circ$ förbi $180^\circ$. Referensvinkeln är $60^\circ$, så storleken är $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
I tredje kvadranten ligger punkten under $x$-axeln, så sinus är negativt: $\sin 240^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
b) $315^\circ$ ligger $45^\circ$ före $360^\circ$, i fjärde kvadranten. Storleken är $\cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, och i fjärde kvadranten är $x > 0$.
a) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Vad är det exakta värdet av $\cos 135^\circ$?
- Varför lockar det svaret? Rätt referensvinkel, glömmer tecknet i andra kvadranten.
- Varför lockar det svaret? Tar referensvinkeln 30° i stället för 45° — förväxlar 135° med 150°.
- Varför lockar det svaret? Förväxlar 135° med 120°.
- Referensvinkel: $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$, och $\cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
- Tecken: andra kvadranten, där $x < 0$
Rimlighetskontroll: $135^\circ$ ligger mellan $90^\circ$ (där $\cos = 0$) och $180^\circ$ (där $\cos = -1$). Svaret måste ligga mellan $0$ och $-1$ — det utesluter A direkt.
För den nyfikne Varför heter det sinus?
Indiska matematiker kallade halva kordan i en cirkel jya-ardha, "halva bågsträngen". Ordet lånades in i arabiskan och blev där jiba. När arabiska texter översattes till latin på 1100-talet lästes ordet som jaib, "bukt" eller "veck". På latin blev det sinus. Namnet kommer alltså från en felläsning, men idén är densamma: en halv korda i en cirkel med radien 1 är just $y$-koordinaten.
Sammanfattning
- I en rätvinklig triangel är $\sin v = \dfrac{a}{c}$, $\cos v = \dfrac{b}{c}$ och $\tan v = \dfrac{a}{b}$. Värdet bestäms av vinkeln, inte av triangelns storlek.
- På enhetscirkeln är $P = (\cos v, \sin v)$. Det definierar sinus och cosinus för alla vinklar.
- Tecknet läser du av ur kvadranten, utan tabell.
- Sinus och cosinus har perioden $360^\circ$, tangens har $180^\circ$.
- $\sin v = c$ har två lösningsfamiljer, $v_1$ och $180^\circ - v_1$. $\cos v = c$ har $\pm v_1$. Lägg alltid till perioden.
- Exakta värden: referensvinkel ger storleken, kvadranten ger tecknet.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
Var är sinus och cosinus lika?
Finns det vinklar $v$ där $\sin v = \cos v$? Hitta alla sådana vinklar och beskriv var punkterna ligger på enhetscirkeln.
Ett sätt att tänka
$\sin v = \cos v$ betyder $y = x$: punkterna ligger på linjen $y = x$. Den skär cirkeln i två punkter, en i första och en i tredje kvadranten: $v = 45^\circ$ och $v = 225^\circ$. Alla lösningar är $v = 45^\circ + n \cdot 180^\circ$. Den som bara svarade $45^\circ$ glömde tredje kvadranten.
Håller motiveringen?
En elev säger: "$\sin 200^\circ$ är negativt eftersom $200^\circ$ är större än $180^\circ$." Slutsatsen är rätt. Håller motiveringen som regel? Testa med $v = 380^\circ$ och $v = -10^\circ$.
Ett sätt att tänka
Nej. $\sin 380^\circ = \sin 20^\circ > 0$ fast $380 > 180$, och $\sin(-10^\circ) < 0$ fast $-10 < 180$. Regeln gäller bara i första varvet. Den riktiga motiveringen är att punkten ligger under $x$-axeln. Rätt svar med fel motivering är inte ett färdigt svar, och en regel testar man med motexempel.
Hur många lösningar?
Hur många lösningar har $\sin v = c$ i intervallet $0^\circ \le v \le 360^\circ$? Undersök $c = 0{,}5$, $c = 0$, $c = 1$, $c = 1{,}4$ och $c = -0{,}3$, och sammanfatta i en regel.
Ett sätt att tänka
$2$ ($30^\circ$, $150^\circ$) · $3$ ($0^\circ$, $180^\circ$ och $360^\circ$, eftersom båda ändpunkterna räknas!) · $1$ ($90^\circ$) · $0$ · $2$ (i kvadrant III och IV). Linjen $y = c$ skär cirkeln $0$, $1$ eller $2$ gånger per varv, och ett slutet intervall kan ge en extra lösning på kanten.
Utan räknare, vilket är störst?
Avgör med enhetscirkeln: a) $\sin 50^\circ$ eller $\sin 130^\circ$? b) $\cos 50^\circ$ eller $\cos 130^\circ$? c) $\sin 100^\circ$ eller $\cos 100^\circ$?
Ett sätt att tänka
a) Lika stora! $130^\circ = 180^\circ - 50^\circ$, och spegling i $y$-axeln behåller höjden. b) $\cos 50^\circ > 0 > \cos 130^\circ$. c) I andra kvadranten är $\sin 100^\circ > 0 > \cos 100^\circ$. Ingenting behöver räknas, allt läses av i cirkeln.
Punkt på cirkeln
Punkten $P = (-0{,}6;\ y)$ ligger på enhetscirkeln i tredje kvadranten. Bestäm $y$ exakt. Ange sedan en vinkel $v$ som hör till $P$.
Ett sätt att tänka
Radien är $1$, så Pythagoras ger $y^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$. Tredje kvadranten betyder $y < 0$, alltså $y = -0{,}8$. Referensvinkeln är $\arccos 0{,}6 \approx 53^\circ$, så $v \approx 180^\circ + 53^\circ = 233^\circ$. Det du just använde har ett eget namn, och det kommer i nästa lektion.
Förklara för en kompis
En kompis frågar varför räknaren bara ger en lösning till $\sin v = 0{,}5$ när det finns två mellan $0^\circ$ och $360^\circ$. Skriv en förklaring på högst tre meningar.
Ett sätt att tänka
Ungefär så här: arcsin måste välja ett enda svar och tar vinkeln närmast noll. Men linjen $y = 0{,}5$ skär enhetscirkeln i två punkter. Den andra hittar man genom att spegla i $y$-axeln: $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Att formulera det med egna ord är svårare än att räkna. Det är därför det är värt att göra.