Vad är en radian?
En vinkel mätt med cirkelns eget mått.
Varför har ett varv $360$ grader? Ingen vet säkert. Babylonierna valde talet för nästan $3000$ år sedan, kanske för att året har ungefär så många dagar och för att $360$ går att dela på många sätt. Det är ett praktiskt val, men ett godtyckligt val.
Radianer utgår i stället från cirkeln själv. Lägg radien längs cirkelns kant, som ett måttband. Den vinkel som ger en båge lika lång som radien kallas 1 radian.
Är bågen dubbelt så lång som radien är vinkeln $2$ radianer, och så vidare. Vinkeln är bågens längd, mätt i radielängder.
Rulla ut bågen
Gissa först: hur många radielängder får plats runt hela cirkeln? Dra sedan långsamt i $v$ från $0$ till ett helt varv. Måttstocken under cirkeln visar hur många radielängder som gått åt. Stanna vid $6$: är du framme? Knappen Exakta vinklar stannar vid $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$ och så vidare.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Ungefär hur många grader är $1$ radian?
- Varför lockar det svaret? Använder omvandlingen åt fel håll: 0,0175 är hur många RADIANER en grad är.
- Varför lockar det svaret? Tar talet 2π och sätter gradtecken på det — blandar ihop antalet radianer per varv med storleken på en radian.
- Varför lockar det svaret? Förväxlar 1 rad med π rad. Det är π som motsvarar 180°, inte 1.
Överslaget som räcker: $360^\circ$ delat på drygt $6$ blir knappt $60^\circ$.
Alternativ A är samma samband läst baklänges — $1^\circ \approx 0{,}0175$ rad. Det är den vanligaste förväxlingen, och den syns direkt på rimligheten: en radian är en stor vinkel, inte en försvinnande liten.
För den nyfikne Varför bry sig om radianer?
Två skäl, som båda kommer tillbaka i kursen:
- Båglängd blir enkelt. En båge med vinkeln $v$ radianer i en cirkel med radien $r$ har längden $b = v \cdot r$. I grader skulle det vara $b = \dfrac{v}{360^\circ} \cdot 2\pi r$.
- Derivatorna blir enkla. I kapitel 2 visar det sig att derivatan av $\sin x$ är $\cos x$, men bara om $x$ mäts i radianer. I grader dyker en extra faktor $\dfrac{\pi}{180}$ upp överallt.
Grader och radianer
Ett enda samband räcker, 180° = π.
Ett helt varv är $2\pi$ radianer och $360^\circ$. Halva varvet är alltså $$\pi \text{ rad} = 180^\circ$$ Allt annat följer av det. Tänk på $\pi$ som "ett halvt varv": $\dfrac{\pi}{2}$ är ett kvarts varv, $\dfrac{\pi}{6}$ är en sjättedel av ett halvt varv, alltså $30^\circ$.
Till radianer: multiplicera med $\dfrac{\pi}{180}$. Från radianer: multiplicera med $\dfrac{180}{\pi}$.
Åt båda hållen
a) Skriv $150^\circ$ i radianer, exakt. b) Skriv $2{,}5$ radianer i grader.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
a) $150^\circ$ är $\dfrac{150}{180} = \dfrac{5}{6}$ av ett halvt varv, alltså $\dfrac{5\pi}{6}$.
b) $2{,}5 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 143{,}2^\circ$.
Rimligt? $2{,}5$ ligger mellan $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ och $\pi \approx 3{,}14$, alltså mellan $90^\circ$ och $180^\circ$. ✓
a) $\dfrac{5\pi}{6}$ b) $\approx 143{,}2^\circ$
Landmärken på cirkeln
Fyra decimaltal gör radianer läsbara utan att räkna om:
| kvarts varv | halvt varv | tre kvarts varv | helt varv |
|---|---|---|---|
| $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ | $\pi \approx 3{,}14$ | $\dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ | $2\pi \approx 6{,}28$ |
Vinkeln $2$ ligger mellan $1{,}57$ och $3{,}14$, alltså i andra kvadranten. Vinkeln $5$ ligger mellan $4{,}71$ och $6{,}28$, i fjärde.
sin 2 och sin 2° är inte samma sak
Enheten rad skrivs nästan aldrig ut. Ett tal utan enhet är radianer. Menar man grader måste man skriva gradtecknet. $$\sin 2 \approx 0{,}909 \qquad \sin 2^\circ \approx 0{,}035$$
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Vilket av talen är störst?
- Varför lockar det svaret? Antar att uttrycket med utskriven enhet är det "riktiga" och att 2 utan enhet är något mindre.
- Varför lockar det svaret? Läser gradtecknet som dekoration. Avsnittets huvudmisstag — enheten ändrar vinkeln, inte bara skrivsättet.
- Varför lockar det svaret? Båda uttrycken är rena tal när sinus väl har verkat — de går utmärkt att jämföra.
$2$ radianer är ungefär $115^\circ$ — en trubbig vinkel, nära toppen av sinuskurvan. $2^\circ$ är en mycket liten vinkel, precis efter start.
Skillnaden är alltså en faktor $26$, bara för att gradtecknet saknas.
Exakta värden och ekvationer i radianer
Samma tabell och samma cirkel, nya namn på vinklarna.
| $v$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
|---|---|---|---|
| $\sin v$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos v$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan v$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
Samma tabell som i lektion 1, med $\dfrac{\pi}{6} = 30^\circ$, $\dfrac{\pi}{4} = 45^\circ$ och $\dfrac{\pi}{3} = 60^\circ$.
Metoden för andra vinklar är också densamma: referensvinkel för storleken, kvadrant för tecknet.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Vad är det exakta värdet av $$\cos \frac{2\pi}{3}$$
- Varför lockar det svaret? Rätt referensvinkel, glömmer tecknet i andra kvadranten.
- Varför lockar det svaret? Tar referensvinkeln π/6 i stället för π/3 — förväxlar 2π/3 med 5π/6.
- Varför lockar det svaret? Förväxlar 2π/3 med 3π/4.
- Referensvinkel: $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$, och $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$
- Tecken: andra kvadranten, där $x < 0$
Exakt samma två steg som i lektion 1. Bara vinkelmåttet har bytts ut.
Utan att gå via grader
Bestäm $\sin \dfrac{7\pi}{6}$ exakt.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$: strax förbi ett halvt varv, i tredje kvadranten.
Referensvinkeln är $\dfrac{\pi}{6}$, och $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac12$.
Under $x$-axeln är sinus negativ.
Byt $360^\circ$ mot $2\pi$ och $180^\circ$ mot $\pi$. Sinus speglas fortfarande i $y$-axeln, cosinus i $x$-axeln.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Ekvationen $\sin x = 0{,}73$ har lösningen $x_1 = \arcsin 0{,}73 \approx 0{,}82$.
Vilken är den andra lösningen i intervallet $0 \le x \le 2\pi$?
- Varför lockar det svaret? Använder cosinusregeln på sinus. $2\pi - 0{,}82$ är speglingen i $x$-axeln och ger $\sin x = -0{,}73$.
- Varför lockar det svaret? Cosinusregeln i sin grundform, och dessutom utanför intervallet.
- Varför lockar det svaret? Speglar i origo i stället för i $y$-axeln. Det ger $\sin x = -0{,}73$.
Sinus är $y$-koordinaten. Samma höjd fås genom spegling i $y$-axeln:
Kontroll: $\sin 2{,}32 \approx 0{,}73$ ✓, medan $\sin 5{,}46 \approx -0{,}73$ ✗.
Samtliga lösningar: $$x = 0{,}82 + n \cdot 2\pi \quad \text{och} \quad x = 2{,}32 + n \cdot 2\pi$$
Dubbla vinkeln i radianer
Lös $\cos 2x = \dfrac{1}{2}$ för $0 \le x < 2\pi$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Låt $u = 2x$. $\cos u = \dfrac12$ ger $u = \pm\dfrac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi$.
Dela med $2$: $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + n \cdot \pi$. Perioden halveras också!
I intervallet: $\dfrac{\pi}{6}$, $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$, $\pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$ och $2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}$.
Trigonometriska modeller
Tidvatten, temperatur och svängande fjädrar. Allt som går runt.
I en hamn varierar vattendjupet enligt $$h(t) = 3{,}2\sin 0{,}524t + 6{,}5$$ där $t$ är tiden i timmar efter kl. $10.00$ och $h$ djupet i meter.
Läs av: amplitud $3{,}2$ m, mittlinje $6{,}5$ m. Djupet varierar mellan $3{,}3$ och $9{,}7$ m. Inget gradtecken, så argumentet är i radianer.
I grader var det $P = \dfrac{360^\circ}{k}$. Samma idé: ett helt varv delat med $k$. Fråga dig vilken enhet varvet har.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Vattendjupet i en hamn ges av $$h(t) = 3{,}2 \sin 0{,}524t + 6{,}5$$ där $t$ är tiden i timmar.
Vilken period har modellen?
- Varför lockar det svaret? Läser k som om det vore perioden i stället för dess invers gånger 2π.
- Varför lockar det svaret? Plockar konstanten B, som är mittlinjen i meter — fel storhet och fel enhet.
- Varför lockar det svaret? Använder 360/k trots att argumentet är i radianer. Provets vanligaste modellfel.
Rimlighetskontroll: tidvatten går upp och ner ungefär två gånger per dygn. $12$ timmar stämmer, $687$ timmar är nästan en månad.
Alternativ B har dessutom fel enhet: $6{,}5$ är meter, inte timmar. Att kontrollera enheten fångar den utan att man räknar något.
När är vattnet djupast?
Använd modellen $h(t) = 3{,}2\sin 0{,}524t + 6{,}5$. a) Hur djupt är det kl. 14.00? b) När är det djupast första gången, och hur djupt är det då?
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
a) Kl. 14.00 är $t = 4$. Räknaren i RAD: $h(4) = 3{,}2\sin 2{,}096 + 6{,}5 \approx 9{,}3$ m.
b) Sinus är störst, lika med $1$, när argumentet är $\dfrac{\pi}{2}$: $0{,}524t = \dfrac{\pi}{2}$ ger $t \approx 3{,}0$.
Då är djupet $3{,}2 \cdot 1 + 6{,}5 = 9{,}7$ m. Ingen derivata behövs, bara kunskapen om när sinus är störst.
a) Ungefär $9{,}3$ m b) Kl. 13.00, med djupet $9{,}7$ m.
Bygg en modell från mått
Utomhustemperaturen ett dygn varierar mellan $-4$ °C och $12$ °C, med lägst temperatur kl. 04. Ställ upp en modell $T(t)$, där $t$ är timmar efter midnatt.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Amplitud $\dfrac{12 - (-4)}{2} = 8$, mittlinje $\dfrac{12 + (-4)}{2} = 4$.
Perioden är $24$ timmar, så $k = \dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12}$.
En cosinuskurva med minustecken framför börjar i sin botten. Botten ska ligga vid $t = 4$, så förskjut $4$ timmar åt höger: $$T(t) = 4 - 8\cos\frac{\pi}{12}(t - 4)$$
Kontroll: $T(4) = 4 - 8\cos 0 = -4$ ✓ och $T(16) = 4 - 8\cos\pi = 12$ ✓.
$T(t) = 4 - 8\cos\dfrac{\pi}{12}(t - 4)$. Andra formler kan också vara rätt: kontrollera dem med $T(4)$ och $T(16)$.
För den nyfikne Harmonisk svängning
En vikt som hänger i en fjäder och svänger upp och ned följer $y = A\sin kt$ med $k = \dfrac{2\pi}{T}$, där $T$ är tiden för en svängning. Fysiken säger att $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{fjäder}}}}$$ där $m$ är viktens massa. Samma $2\pi$ av samma skäl: ett varv. Lägg märke till vad som inte finns i formeln: amplituden. Svängningstiden är densamma oavsett hur hårt du drar i vikten.
Sammanfattning
- En radian är vinkeln vars båge är lika lång som radien. Ett helt varv är $2\pi$ rad.
- $180^\circ = \pi$. Till radianer: gånger $\dfrac{\pi}{180}$. Från radianer: gånger $\dfrac{180}{\pi}$. $1$ rad $\approx 57^\circ$.
- Ett tal utan gradtecken är radianer: $\sin 2 \neq \sin 2^\circ$. Ställ räknaren därefter.
- Exakta värden och grundekvationer som förut, med $360^\circ \to 2\pi$ och $180^\circ \to \pi$. Sinus: $\pi - v_1$.
- Perioden i radianer är $P = \dfrac{2\pi}{k}$.
- I en modell ger amplitud, mittlinje och period det mesta. Kontrollera rimlighet och enhet.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
Vilken kvadrant?
Utan räknare: i vilken kvadrant ligger vinkeln $2$? Och vinkeln $5$? Hur resonerar du utan att räkna om till grader?
Ett sätt att tänka
Använd landmärkena $1{,}57$, $3{,}14$, $4{,}71$ och $6{,}28$. $1{,}57 < 2 < 3{,}14$ betyder andra kvadranten, och $4{,}71 < 5 < 6{,}28$ betyder fjärde.
Ungefär hur många varv?
Ungefär hur många hela varv är $100$ radianer? Uppskatta utan räknare.
Ett sätt att tänka
Ett varv är $2\pi \approx 6{,}28$ radianer. Hur många $6{,}28$ ryms i $100$? Ungefär $16$ (närmare bestämt $15{,}9$). Överslaget $100 / 6 \approx 17$ räcker gott för att veta storleksordningen.
Blandade enheter
En elev löser $\sin x = 0{,}5$ med $x$ i radianer och svarar $x = 30^\circ + n \cdot 360^\circ$. Vad borde det stå?
Ett sätt att tänka
$x = \dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi$ och $x = \dfrac{5\pi}{6} + n \cdot 2\pi$. Eleven glömde dessutom den andra lösningen, samma fel som i lektion 1.
Varför just π?
En vän påstår att $\pi$ radianer är "ungefär $3$ grader". Förklara vad som är fel, med en mening om vad en radian är.
Ett sätt att tänka
$\pi$ är inte ett antal grader, utan ett antal radielängder längs cirkeln. $\pi$ radielängder räcker precis till ett halvt varv, alltså $180^\circ$. Talet $3{,}14$ räknar hur många radier som får plats, inte hur många grader.