Trigonometriska ettan
Pythagoras sats, en gång till, men med hypotenusan 1.
Triangeln i enhetscirkeln har hypotenusan $1$ och kateterna $\cos v$ och $\sin v$. Pythagoras sats säger direkt att $$(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1^2$$ Speglingarna från förra lektionen ändrar bara tecknen, och tecknen försvinner när man kvadrerar. Därför gäller sambandet för alla vinklar, i alla kvadranter.
Omskrivet: $\sin^2 v = 1 - \cos^2 v$ och $\cos^2 v = 1 - \sin^2 v$.
Ettan ger dig sinus om du känner cosinus, men bara storleken. Kvadratroten har två tecken, och det är kvadranten som väljer. Prova innan du läser vidare.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
För en vinkel $v$ gäller $\cos v = -\dfrac{3}{5}$, och $v$ ligger i tredje kvadranten.
Vad är $\sin v$?
- Varför lockar det svaret? Tar den positiva roten utan att titta på kvadranten. Det vanligaste felet.
- Varför lockar det svaret? Räknar rätt men använder aldrig informationen om kvadranten — svaret är inte färdigt.
- Varför lockar det svaret? Stannar vid $\sin^2 v$ och glömmer att dra roten.
Ettan ger storleken: $$\sin^2 v = 1 - \left(-\tfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25} \;\Rightarrow\; \sin v = \pm\tfrac{4}{5}$$
Kvadranten ger tecknet: i tredje kvadranten är $y < 0$, alltså $\sin v < 0$.
Ekvationen ger alltid två kandidater. Figuren väljer mellan dem.
Från sinus till cosinus och tangens
För vinkeln $v$ gäller $\sin v = \dfrac{5}{13}$, och $v$ ligger i andra kvadranten. Bestäm $\cos v$ och $\tan v$ exakt.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Ettan: $\cos^2 v = 1 - \left(\tfrac{5}{13}\right)^2 = 1 - \tfrac{25}{169} = \tfrac{144}{169}$, så $\cos v = \pm\tfrac{12}{13}$.
Andra kvadranten ligger till vänster om $y$-axeln, där $x < 0$. Alltså $\cos v = -\tfrac{12}{13}$.
$\tan v = \dfrac{\sin v}{\cos v} = \dfrac{5/13}{-12/13} = -\dfrac{5}{12}$.
$\cos v = -\dfrac{12}{13}$ och $\tan v = -\dfrac{5}{12}$.
Ettan som verktyg
Lika ofta används ettan för att byta ut ett uttryck mot ett enklare. Leta efter $\sin^2$ och $\cos^2$ av samma vinkel: $$8 - \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = 8 - \left(\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ\right) = 8 - 1 = 7$$ Ingen räknare behövs, bara ett öga för mönstret.
För den nyfikne Ett samband för tangens
Dela ettan med $\cos^2 v$ (när $\cos v \neq 0$): $$\frac{\sin^2 v}{\cos^2 v} + \frac{\cos^2 v}{\cos^2 v} = \frac{1}{\cos^2 v} \quad\Longrightarrow\quad 1 + \tan^2 v = \frac{1}{\cos^2 v}$$ Det sambandet dyker upp igen när du deriverar $\tan x$ i kapitel 2.
Additions- och subtraktionsformlerna
Är sinus av en summa samma sak som summan av sinus? Gissa!
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Låt $u = 60^\circ$ och $v = 30^\circ$.
Jämför $\sin(u + v)$ med $\sin u + \sin v$.
- Varför lockar det svaret? Antar att sinus är linjär — att man får dela upp parentesen som i algebra. Avsnittets huvudmisstag.
- Varför lockar det svaret? Rätt insikt att de skiljer sig, fel håll — räknar inte utan gissar.
- Varför lockar det svaret? Ser inte att båda leden är exakta värden ur tabellen.
Alltså $\sin(u+v) \neq \sin u + \sin v$.
Ett enda motexempel räcker för att avfärda en formel. Det är värt att komma ihåg som metod, inte bara som resultat.
Men vad är då $\sin(u + v)$? Svaret är fyra formler. De ser tunga ut, men följer två enkla mönster.
Du får dem på formelbladet. Det du ska kunna är att välja rätt formel och sätta in rätt.
De två mönstren:
- Sinusformlerna blandar: $\sin \cdot \cos + \cos \cdot \sin$. Cosinusformlerna blandar inte: $\cos \cdot \cos$ och $\sin \cdot \sin$.
- Cosinus byter tecken: plus inne i vinkeln ger minus i formeln, och tvärtom. Sinus behåller tecknet.
Exakt värde för $\cos 15^\circ$
Bestäm $\cos 15^\circ$ exakt.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$15^\circ$ finns inte i tabellen, men $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$, och de två finns. Använd subtraktionsformeln för cosinus: $$\cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$$
Sätt in exakta värden: $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$$
Förläng med $\sqrt{2}$ om du vill slippa roten i nämnaren: $$\frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
Kontroll på räknaren: $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966$ och $\cos 15^\circ \approx 0{,}966$. ✓
På samma sätt går det att nå $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ och många fler.
Varifrån kommer formlerna?
De är inte magi. Punkterna $P$ och $Q$ ligger vid vinklarna $u$ och $v$, så vinkeln mellan dem är $u - v$. Punkterna $R$ och $S$ ligger vid $u - v$ och $0$, alltså med samma vinkel emellan. Samma vinkel i samma cirkel ger samma korda: $PQ = RS$.
För den nyfikne Hela beviset för cos(u − v)
Med $P = (\cos u, \sin u)$, $Q = (\cos v, \sin v)$, $R = (\cos(u-v), \sin(u-v))$ och $S = (1, 0)$ ger avståndsformeln $$PQ^2 = (\cos u - \cos v)^2 + (\sin u - \sin v)^2$$ Utveckla kvadraterna och använd ettan två gånger: $$PQ^2 = 2 - 2(\cos u \cos v + \sin u \sin v)$$ På samma sätt, med ettan för vinkeln $u - v$: $$RS^2 = (\cos(u-v) - 1)^2 + \sin^2(u-v) = 2 - 2\cos(u - v)$$ Eftersom $PQ = RS$ är $PQ^2 = RS^2$, och då står formeln där: $$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$$ De andra tre följer. Byt $v$ mot $-v$ och använd $\cos(-v) = \cos v$, $\sin(-v) = -\sin v$ för $\cos(u + v)$. Använd $\sin w = \cos(90^\circ - w)$ för sinusformlerna.
Formler för dubbla vinkeln
Sätt u = v i additionsformlerna. Mer än så är det inte.
Låt båda vinklarna i additionsformlerna vara lika, $u = v$: $$\sin 2v = \sin(v + v) = \sin v \cos v + \cos v \sin v = 2\sin v \cos v$$ $$\cos 2v = \cos(v + v) = \cos v \cos v - \sin v \sin v = \cos^2 v - \sin^2 v$$ Inga nya bevis behövs. Det är ett specialfall.
Titta på figuren innan du räknar: punkten för $2v$ ligger inte dubbelt så högt som punkten för $v$. Dubbla vinkeln är inte dubbla värdet.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
För en vinkel $x$ gäller $\sin x = 0{,}6$ och $\cos x = 0{,}8$.
Vad är $\sin 2x$?
- Varför lockar det svaret? Tror att sin 2x = 2 sin x. Avsnittets dominerande fel — dubbla vinkeln är inte dubbla värdet.
- Varför lockar det svaret? Rätt formel men tappar faktorn 2: räknar sin x · cos x.
- Varför lockar det svaret? Adderar sin x + cos x — plockar ihop de givna talen utan formel.
Kontrollen som fångar B direkt: $\sin$ av vad som helst ligger mellan $-1$ och $1$. Ett svar på $1{,}2$ är omöjligt utan att man räknat något.
Samma sak gäller alla trigonometriska svar. Gör den kontrollen varje gång.
De tre formerna av $\cos 2v$ är samma formel, omskriven med trigonometriska ettan.
Välj rätt form
För en vinkel $v$ gäller $\sin v = \dfrac{1}{3}$. Bestäm $\cos 2v$ exakt.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Vi känner bara $\sin v$, så formen $1 - 2\sin^2 v$ passar. Vi slipper då räkna ut $\cos v$, och vi behöver inte bry oss om vilken kvadrant $v$ ligger i.
- $$\cos 2v = 1 - 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$
Två steg
För en spetsig vinkel $v$ gäller $\cos v = 0{,}8$. Bestäm $\sin 2v$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$\sin 2v = 2\sin v\cos v$ kräver $\sin v$. Ettan: $\sin^2 v = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$, och en spetsig vinkel ligger i första kvadranten, så $\sin v = 0{,}6$.
- $$\sin 2v = 2 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$$
Rimlighet: svaret ligger mellan $-1$ och $1$. ✓
Ekvationer och formler
Skriv om ekvationen tills den ser ut som en grundekvation.
De flesta trigonometriska ekvationer är inte grundekvationer från början. Man skriver om dem, med fyra verktyg:
- trigonometriska formler, till exempel ettan eller dubbla vinkeln
- faktorisering, att bryta ut en gemensam faktor
- nollproduktmetoden
- variabelsubstitution, till exempel $t = \sin x$
När sinus och cosinus är lika
Lös $\sin x = \cos x$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Dela båda leden med $\cos x$: $\;\tan x = 1$.
Men får man dela med $\cos x$? Bara om $\cos x \neq 0$. Om $\cos x = 0$ skulle ekvationen kräva $\sin x = 0$ samtidigt, och det går inte, eftersom $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Vi tappar alltså inga lösningar här.
$\tan x = 1$ ger $x = 45^\circ + n \cdot 180^\circ$.
Faktorisera och använd nollproduktmetoden
Lös $2\cos^2 x - \cos x = 0$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Båda termerna innehåller $\cos x$. Bryt ut den: $$\cos x\,(2\cos x - 1) = 0$$
En produkt är noll när någon faktor är noll. Två fall: $$\cos x = 0 \qquad\text{eller}\qquad 2\cos x - 1 = 0$$
$\cos x = 0$ ger $x = 90^\circ + n \cdot 180^\circ$ (rakt upp och rakt ner på cirkeln).
$\cos x = \tfrac{1}{2}$ ger $x = \pm 60^\circ + n \cdot 360^\circ$.
$x = 90^\circ + n \cdot 180^\circ$ eller $x = \pm 60^\circ + n \cdot 360^\circ$
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
En elev löser $2\cos^2 x - \cos x = 0$ genom att dividera båda leden med $\cos x$ och får
Vad är problemet med den lösningen?
- Varför lockar det svaret? Ser inte att en division kan förstöra lösningar. Kontrollerar aldrig mot originalekvationen.
- Varför lockar det svaret? Överkorrigerar. Division är tillåten — bara inte med något som kan vara noll.
- Varför lockar det svaret? Rätt att verktyget spelar roll, men ettan hjälper inte här — det finns inget att byta ut.
$x = 90^\circ$ löser originalekvationen: $2 \cdot 0^2 - 0 = 0$. ✓
Men elevens svar $\cos x = \tfrac{1}{2}$ ger bara $x = \pm 60^\circ + n \cdot 360^\circ$. Hela lösningsmängden $x = 90^\circ + n \cdot 180^\circ$ har försvunnit.
Att dividera med $\cos x$ förutsätter tyst att $\cos x \neq 0$.
Faktorisera i stället för att dividera. Då blir båda fallen kvar, och nollproduktmetoden tar hand om dem.
Repetera Andragradsekvationer (pq-formeln)
Ekvationen $t^2 + pt + q = 0$ har lösningarna $$t = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$$ Exempel: $t^2 + 3t - 4 = 0$ ger $t = -\tfrac{3}{2} \pm \sqrt{\tfrac{9}{4} + 4} = -\tfrac32 \pm \tfrac52$, alltså $t = 1$ eller $t = -4$.
Variabelsubstitution
Lös $3\sin x - 3 = \cos^2 x$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Två olika funktioner, $\sin$ och $\cos$. Ettan byter ut $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$3\sin x - 3 = 1 - \sin^2 x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin^2 x + 3\sin x - 4 = 0$$
Sätt $t = \sin x$. Då är det en vanlig andragradsekvation: $$t^2 + 3t - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1 \;\text{ eller }\; t = -4$$
$\sin x = 1$ ger $x = 90^\circ + n \cdot 360^\circ$.
$\sin x = -4$ saknar lösning, eftersom $-1 \le \sin x \le 1$. Rimlighetskontrollen igen, nu som ett nödvändigt steg.
En ekvation med en fälla
Lös $\sin 2x = \sin x$ för $0^\circ \le x \le 360^\circ$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Dubbla vinkeln: $2\sin x\cos x = \sin x$. Frestelsen är att dela med $\sin x$. Gör det inte! Flytta över och faktorisera: $$2\sin x\cos x - \sin x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x\,(2\cos x - 1) = 0$$
$\sin x = 0$ ger $x = 0^\circ,\ 180^\circ,\ 360^\circ$.
$\cos x = \tfrac{1}{2}$ ger $x = 60^\circ$ och $x = 300^\circ$.
Fem lösningar: $0^\circ,\ 60^\circ,\ 180^\circ,\ 300^\circ,\ 360^\circ$. Den som delat med $\sin x$ hade bara fått två.
Kurvorna $y = A\sin kx$ och $y = A\cos kx$
Två tal styr hela kurvan, ett för höjden och ett för tempot.
Grundkurvan $y = \sin x$ är höjden på punkten som går runt enhetscirkeln. Den svänger mellan $-1$ och $1$, alltså med amplituden $1$, och upprepar sig efter $360^\circ$, perioden.
Vad händer med kurvan om vi multiplicerar med ett tal $A$ framför, eller med ett tal $k$ inne i vinkeln?
Dra i A och k
Gissa först, dra sedan. Börja med $k = 1$ och dra i $A$. Vad ändras? Sätt tillbaka $A = 1$ och dra i $k$. Vad ändras nu? Dra till sist $A$ förbi noll till ett negativt värde. Knappen Visa y = sin x lägger grundkurvan bakom som jämförelse.
$A$ sträcker kurvan på höjden, $k$ trycker ihop den på bredden. Ingen av dem flyttar kurvan åt sidan. Det kommer i lektion 1.3.
Jämför de tre kurvorna. $y = 3\sin x$ når tre gånger så högt men har samma period. $y = \sin 2x$ har samma höjd men hinner två svängningar på $360^\circ$, alltså perioden $180^\circ$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Betrakta kurvan $$y = 3 \sin 2x$$
Vilken amplitud och vilken period har den?
- Varför lockar det svaret? Multiplicerar perioden med k i stället för att dividera — tror att k = 2 gör kurvan dubbelt så bred.
- Varför lockar det svaret? Tar amplituden som toppvärde minus bottenvärde, alltså hela svängningen i stället för halva.
- Varför lockar det svaret? Kastar om A och k.
Amplituden är faktorn framför: $A = 3$.
Perioden är $\dfrac{360^\circ}{k} = \dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$ — kurvan hinner två hela svängningar på $360^\circ$.
Minnesregel: större $k$ ger kortare period. Kurvan svänger tätare, inte glesare.
Hur många lösningar får plats?
Hur många lösningar har $5\sin 4x = 2$ i intervallet $0^\circ \le x \le 360^\circ$? Svara utan att lösa ekvationen.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Skriv om: $\sin 4x = 0{,}4$. Rita kurvan $y = \sin 4x$ och linjen $y = 0{,}4$.
Perioden är $\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ$, så kurvan hinner fyra hela svängningar mellan $0^\circ$ och $360^\circ$.
Linjen $y = 0{,}4$ skär varje svängning två gånger: en gång på väg upp och en gång på väg ner.
$4 \cdot 2 = 8$ lösningar.
Sammanfattning
- Trigonometriska ettan: $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$. Den ger storleken; kvadranten ger tecknet.
- Additionsformlerna: sinusformlerna blandar, cosinusformlerna byter tecken. $\sin(u+v) \neq \sin u + \sin v$.
- Dubbla vinkeln: $\sin 2v = 2\sin v\cos v$. Välj den form av $\cos 2v$ som passar det du vet.
- Ekvationer: skriv om till grundekvationer. Faktorisera i stället för att dela.
- Kurvor: $y = A\sin kx$ har amplituden $|A|$ och perioden $360^\circ/k$.
- Rimlighetskontroll: sinus och cosinus ligger alltid mellan $-1$ och $1$.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
När stämmer den felaktiga formeln?
Formeln $\sin 2x = 2\sin x$ är fel. Men finns det $x$ där likheten ändå råkar stämma? Hitta alla, och förklara varför den ändå inte duger som formel.
Ett sätt att tänka
$2\sin x\cos x = 2\sin x$ ger $\sin x\,(\cos x - 1) = 0$, alltså $\sin x = 0$ eller $\cos x = 1$. Svaret är $x = n \cdot 180^\circ$. En formel ska gälla för alla $x$. Att den stämmer i enstaka punkter räddar den inte.
Utan räknare
Bestäm värdet: a) $\sin^2 37^\circ + \cos^2 37^\circ + \sin^2 53^\circ + \cos^2 53^\circ$ b) $\cos^2 20^\circ + \cos^2 70^\circ$
Ett sätt att tänka
a) Ettan två gånger: $1 + 1 = 2$. b) $70^\circ = 90^\circ - 20^\circ$, så $\cos 70^\circ = \sin 20^\circ$ (komplementvinklar från lektion 1). Summan blir ettan för $20^\circ$, alltså $1$.
Två bevis för samma sak
Visa att $\cos(180^\circ - v) = -\cos v$ med subtraktionsformeln. Jämför med symmetriargumentet från lektion 1, spegling i $y$-axeln. Vilket bevis övertygar dig mest?
Ett sätt att tänka
$\cos(180^\circ - v) = \cos 180^\circ\cos v + \sin 180^\circ\sin v = -\cos v + 0$. Det finns inget rätt svar på smakfrågan. Samma sanning kan visas både med en bild och med en räkning, och olika personer övertygas av olika saker. Det är värt att kunna båda.
Exakt värde för sin 105°
Bestäm $\sin 105^\circ$ exakt. Varför blir svaret samma som för $\cos 15^\circ$?
Ett sätt att tänka
$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ ger $\sin 105^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. Samma som $\cos 15^\circ$, eftersom $\sin 105^\circ = \sin 75^\circ$ (spegling i $y$-axeln) och $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$ (komplementvinklar).
Alltid, ibland eller aldrig?
Påstående: $\sin(u + v) \le \sin u + \sin v$. Alltid, ibland eller aldrig sant? Börja med spetsiga vinklar $u$ och $v$.
Ett sätt att tänka
För spetsiga vinklar: $\sin(u+v) = \sin u\cos v + \cos u\sin v \le \sin u + \sin v$, eftersom cosinusfaktorerna är högst $1$ och allt är positivt. Alltid sant där. I allmänhet bara ibland: $u = v = -45^\circ$ ger vänsterledet $-1$ och högerledet $-\sqrt{2} \approx -1{,}41$.