1.2 Uppgifter
Trigonometriska formler
Uppgifterna följer teorins avsnitt. Börja med nivå 1 i varje avsnitt och gå vidare när det känns lätt. Formlerna får du slå upp, precis som på tentan, där du får ett formelblad. Det som tränas här är att välja rätt formel.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Trigonometriska ettan
Läs teorin: 1. Trigonometriska ettan →För vinkeln $v$ gäller $\cos v = -\dfrac{2}{3}$, och $v$ ligger i tredje kvadranten. Bestäm $\sin v$ och $\tan v$ exakt.
Ledtråd
Ettan ger storleken, kvadranten tecknet. I tredje kvadranten är både $x$ och $y$ negativa.
$\sin^2 v = 1 - \tfrac{4}{9} = \tfrac{5}{9}$, så $\sin v = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Tredje kvadranten: $y < 0$, alltså $\sin v = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
$\tan v = \dfrac{-\sqrt{5}/3}{-2/3} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Positivt, som det ska vara i tredje kvadranten där sin och cos har samma tecken.
Svar
$\sin v = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan v = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Trigonometriska ettan →
Visa att $(\sin v + \cos v)^2 + (\sin v - \cos v)^2 = 2$ för alla $v$.
Ledtråd
Utveckla båda kvadraterna. Vad händer med de blandade termerna?
- $(\sin v + \cos v)^2 = \sin^2 v + 2\sin v\cos v + \cos^2 v$
- $(\sin v - \cos v)^2 = \sin^2 v - 2\sin v\cos v + \cos^2 v$
Summan: de blandade termerna tar ut varandra och kvar blir $2(\sin^2 v + \cos^2 v) = 2 \cdot 1 = 2$. $\blacksquare$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Trigonometriska ettan →
Additions- och subtraktionsformlerna
Läs teorin: 2. Additions- och subtraktionsformlerna →Skriv som en trigonometrisk funktion och bestäm värdet exakt:
a) $\sin 50^\circ\cos 10^\circ + \cos 50^\circ\sin 10^\circ$ b) $\cos 80^\circ\cos 20^\circ + \sin 80^\circ\sin 20^\circ$
Ledtråd
Läs formlerna baklänges. Blandar uttrycket sin och cos, eller inte?
a) Mönstret $\sin u\cos v + \cos u\sin v$ är $\sin(u + v)$: $\sin(50^\circ + 10^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
b) $\cos u\cos v + \sin u\sin v$ är $\cos(u - v)$, eftersom plus i formeln hör till minus i vinkeln: $\cos(80^\circ - 20^\circ) = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$.
Svar
a) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\dfrac{1}{2}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Additions- och subtraktionsformlerna →
Använd additionsformeln för att visa att $\sin(v + 90^\circ) = \cos v$. Förklara sedan samma sak med enhetscirkeln.
$\sin(v + 90^\circ) = \sin v\cos 90^\circ + \cos v\sin 90^\circ = \sin v \cdot 0 + \cos v \cdot 1 = \cos v$.
Med cirkeln: att vrida ett kvarts varv moturs flyttar punkten $(x, y)$ till $(-y, x)$. Den nya höjden är alltså det gamla $x$-värdet, $\cos v$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Additions- och subtraktionsformlerna →
Formler för dubbla vinkeln
Läs teorin: 3. Formler för dubbla vinkeln →Visa att $\dfrac{2\cos x}{\sin 2x} = \dfrac{1}{\sin x}$ (för de $x$ där båda leden är definierade).
Ledtråd
Skriv om $\sin 2x$ med formeln för dubbla vinkeln och förkorta.
$\sin 2x = 2\sin x\cos x$, så $$\frac{2\cos x}{\sin 2x} = \frac{2\cos x}{2\sin x\cos x}$$
Förkorta med $2\cos x$ (tillåtet, eftersom vänsterledet bara är definierat när $\sin 2x \neq 0$, och då är $\cos x \neq 0$): $$= \frac{1}{\sin x} \qquad\blacksquare$$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Formler för dubbla vinkeln →
Ekvationer och formler
Läs teorin: 4. Ekvationer och formler →Lös $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ för $0^\circ \le x < 360^\circ$.
Ledtråd
Sätt $t = \cos x$ och lös andragradsekvationen.
Med $t = \cos x$: $2t^2 + t - 1 = 0$, alltså $t^2 + \tfrac12 t - \tfrac12 = 0$. pq-formeln: $t = -\tfrac14 \pm \sqrt{\tfrac{1}{16} + \tfrac{8}{16}} = -\tfrac14 \pm \tfrac34$.
$t = \tfrac12$ eller $t = -1$.
$\cos x = \tfrac12$ ger $x = 60^\circ$ och $x = 300^\circ$. $\cos x = -1$ ger $x = 180^\circ$.
Svar
$x = 60^\circ,\ 180^\circ,\ 300^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Ekvationer och formler →
Lös $\sin 2x = \cos x$ för $0^\circ \le x < 360^\circ$.
Ledtråd
Dubbla vinkeln först. Sedan: faktorisera, dela inte.
$2\sin x\cos x = \cos x \iff \cos x\,(2\sin x - 1) = 0$.
$\cos x = 0$ ger $x = 90^\circ$ och $x = 270^\circ$.
$\sin x = \tfrac12$ ger $x = 30^\circ$ och $x = 150^\circ$.
Svar
$x = 30^\circ,\ 90^\circ,\ 150^\circ,\ 270^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Ekvationer och formler →
Kurvorna $y = A\sin kx$ och $y = A\cos kx$
Läs teorin: 5. Kurvorna $y = A\sin kx$ och $y = A\cos kx$ →En kurva av typen $y = A\sin kx$ har största värdet $2{,}5$ och hinner tre hela svängningar mellan $0^\circ$ och $360^\circ$. Bestäm $A$ och $k$ (med $A > 0$).
Största värdet är amplituden: $A = 2{,}5$.
Tre svängningar på $360^\circ$ ger perioden $120^\circ$, och $\dfrac{360^\circ}{k} = 120^\circ$ ger $k = 3$.
Svar
$y = 2{,}5\sin 3x$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Kurvorna $y = A\sin kx$ och $y = A\cos kx$ →
Blandat, som på tentan
Blandade uppgifter från både lektion 1 och 2. Skriv lösningarna på papper med motiveringar innan du tittar.
Vinkeln $v$ ligger i andra kvadranten och $\sin v = \dfrac{3}{5}$.
a) Bestäm $\cos v$. b) Bestäm $\sin 2v$. c) Bestäm $\cos 2v$.
a) Ettan: $\cos^2 v = \tfrac{16}{25}$. Andra kvadranten: $\cos v = -\tfrac45$.
b) $\sin 2v = 2 \cdot \tfrac35 \cdot \left(-\tfrac45\right) = -\tfrac{24}{25}$.
c) $\cos 2v = 1 - 2\sin^2 v = 1 - \tfrac{18}{25} = \tfrac{7}{25}$.
Svar
a) $-\tfrac45$ b) $-\tfrac{24}{25}$ c) $\tfrac{7}{25}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Formler för dubbla vinkeln →
Lös ekvationen $\cos 2x = \sin x$ för $0^\circ \le x < 360^\circ$.
Ledtråd
Välj den form av $\cos 2x$ som bara innehåller $\sin x$. Då blir det en andragradsekvation i $t = \sin x$.
$1 - 2\sin^2 x = \sin x \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
Med $t = \sin x$: $2t^2 + t - 1 = 0$ ger $t = \tfrac12$ eller $t = -1$ (samma ekvation som i uppgiften med $\cos x$ ovan).
$\sin x = \tfrac12$: $x = 30^\circ$ eller $150^\circ$. $\sin x = -1$: $x = 270^\circ$.
Svar
$x = 30^\circ,\ 150^\circ,\ 270^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Ekvationer och formler →
Bestäm $\tan 15^\circ$ exakt. Svara på formen $a - \sqrt{b}$.
Ledtråd
$\tan 15^\circ = \dfrac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}$, och båda går att ta fram med subtraktionsformlerna.
$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ och $\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
$\tan 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$. Förläng med $\sqrt{6} - \sqrt{2}$: $$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{6 - 2} = \frac{8 - 2\sqrt{12}}{4} = 2 - \sqrt{3}$$
Kontroll: $2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268$ och $\tan 15^\circ \approx 0{,}268$. ✓
Svar
$\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Additions- och subtraktionsformlerna →