Kapitlet på en sida
Två halvor, samma derivata.
| lektion | kärnan | läs igen |
|---|---|---|
| 2.1 | $\sin$ och $\cos$ deriveras, kedjeregeln tar hand om lagren. | Kedjeregeln |
| 2.2 | Produkt, kvot, $\ln x$ och ekvationer med en funktion som lösning. | Produkt, Kvot, Differentialekvationer |
| 2.3 | $f' = 0$ ger kandidater. Derivatan är en hastighet med enhet. | Teckentabell, Största och minsta värde |
| 2.4 | Asymptoter och dominerande term ger resten av skissen. | Asymptoter, Skissa |
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Bestäm extrempunkterna till $$y = 2x + \frac{8}{x}$$
- Varför lockar det svaret? Löser $x^2 = 4$ och tar bara den positiva roten. En kvadrat har två rötter, precis som i kapitel 1.
- Varför lockar det svaret? Bestämmer karaktären efter höjden, så att den lägre punkten får heta minimum. Teckentabellen säger motsatsen, precis som för $\frac{1}{x} + 4x$.
- Varför lockar det svaret? Läser kolumnen ”ej def.” i teckentabellen som en stationär punkt. Funktionen finns inte i $x = 0$, där går den lodräta asymptoten.
| $x$ | $-2$ | $0$ | $2$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | ej def. | $-$ | $0$ | $+$ |
| $y$ | ↗ | max | ↘ | ej def. | ↘ | min | ↗ |
Maximipunkt $(-2,\ -8)$ och minimipunkt $(2,\ 8)$.
Asymptoter: $x = 0$ och den sneda $y = 2x$, eftersom $\frac{8}{x} \to 0$ när $x \to \pm\infty$. Samma form som $\frac{1}{x} + 4x$ förra gången.
Frågorna nedan är av två slag: snabba sant eller falskt, som ska gå på några sekunder, och djupare frågor, där det lönar sig att skriva först. Gör alla innan du går till uppgifterna.
2.1 Kedjeregeln
En faktor per lager.
| funktion | derivata |
|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $f(g(x))$ | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ |
Yttre derivatan gånger inre derivatan, och bara i radianer. $y = \sin 5x$ ger $y' = 5\cos 5x$. $y = \sin^2 x = (\sin x)^2$ ger $y' = 2\sin x\cos x$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Det finns tangenter till kurvan $$y = 1{,}5\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$ som har lutningen $2$.
- Varför lockar det svaret? Tror att största lutningen är amplituden 1,5. Den inre derivatan 2 dubblar den — samma inre derivata som i lektion 6.
Kedjeregeln: $$y' = -1{,}5 \cdot 2 \cdot \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$
Sinus antar alla värden mellan $-1$ och $1$, så $y'$ antar alla värden mellan $-3$ och $3$. Lutningen $2$ finns. Sant.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Derivera $$y = \sin^2 3x$$
- Varför lockar det svaret? Två av tre lager. Den innersta derivatan, $3$ från $3x$, tappas.
- Varför lockar det svaret? Deriverar bara kvadraten och behandlar $\sin 3x$ som om det vore $x$. Både $\cos$-faktorn och $3$:an saknas.
- Varför lockar det svaret? Tecknet från cosinus derivata hamnar på sinus. Det är $\cos x$ som får minus när den deriveras, inte $\sin x$.
Tre lager, tre faktorer: $$y = (\sin 3x)^2 \quad\Rightarrow\quad y' = \underbrace{2\sin 3x}_{\text{kvadraten}} \cdot \underbrace{\cos 3x}_{\text{sinus}} \cdot \underbrace{3}_{3x}$$
Med formeln för dubbla vinkeln kan det också skrivas $3\sin 6x$. Samma svar — båda är rätt på provet.
2.2 Produkt, kvot, ln och differentialekvationer
Skriv om innan du deriverar.
| funktion | derivata |
|---|---|
| $f \cdot g$ | $f'g + fg'$ |
| $\dfrac{f}{g}$ | $\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ |
En differentialekvation har en funktion som lösning. Pröva genom att sätta in $y$ och $y'$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Funktionerna $y = \ln x$ och $y = \ln 3x$ har samma derivata.
- Varför lockar det svaret? Glömmer den inre derivatan $3$, eller tar med den men förkortar inte: $\frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$.
Två vägar, samma svar:
Kedjeregeln: $\dfrac{1}{3x} \cdot 3 = \dfrac{1}{x}$
Logaritmlag: $\ln 3x = \ln 3 + \ln x$, och $\ln 3$ är en konstant med derivatan $0$.
Graferna är förskjutna i höjdled — därför är lutningarna lika. Sant.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
För funktionen $f(x) = \ln x$ gäller att $f(x) \gt 0$ och $f'(x) \gt 0$ då $x \gt 0$.
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop att funktionen växer med att den är positiv. ln x växer överallt, men är negativ för 0 < x < 1.
Andra delen stämmer: $f'(x) = \dfrac{1}{x} \gt 0$ för alla $x \gt 0$.
Första delen stämmer inte: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}69 \lt 0$. Funktionen är negativ för $0 \lt x \lt 1$ och noll för $x = 1$.
En enda del som inte håller räcker. Falskt.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Bestäm talet $k$ så att funktionen $$y = 5e^{kx}$$ blir en lösning till differentialekvationen $3y' + y = 0$.
- Varför lockar det svaret? Ställer upp 3k + 1 = 0 men löser den fel: dividerar åt fel håll.
- Varför lockar det svaret? Teckenfel när termen flyttas över. Kontroll: med k = 1/3 blir 3y′ + y = 5e^(x/3) + 5e^(x/3), inte 0.
- Varför lockar det svaret? Rätt observation, fel slutsats. Proportionell räcker inte — konstanten måste vara just den som får vänsterledet att bli noll.
$y = 5e^{kx}$ ger $y' = 5ke^{kx}$. Insättning: $$3 \cdot 5ke^{kx} + 5e^{kx} = 5e^{kx}(3k + 1)$$
Eftersom $e^{kx}$ aldrig är noll måste $3k + 1 = 0$, alltså $$k = -\frac{1}{3}$$
Konstanten $5$ spelar ingen roll, den bryts ut och försvinner. Ekvationen säger att förändringstakten är $-\frac{1}{3}$ av värdet: en avtagande funktion, som ett värde som sjunker med tiden.
2.3 Tillämpningar
En kandidat är inte ett svar.
- $f'(x) = 0$ ger kandidater, inte svar.
- Karaktären avgörs av teckentabellen, eller av $f''$ om den inte är noll.
- På ett slutet intervall: pröva ändpunkterna också, och stryk kandidater utanför.
Som hastighet har derivatan en enhet, och kedjeregeln kopplar ihop två hastigheter: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \cdot \dfrac{dr}{dt}$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Grafen till funktionen $g(x) = e^x \cdot x^2$ har endast en extrempunkt.
- Varför lockar det svaret? Ser minimum i origo (x² ≥ 0) och slutar leta. Produktregeln ger en andra faktor, x + 2, och därmed en andra extrempunkt.
Produktregeln: $$g'(x) = e^x x^2 + e^x \cdot 2x = e^x\, x\,(x + 2)$$
$e^x \gt 0$, så $g'(x) = 0$ för $x = 0$ och $x = -2$. Teckentabellen:
| $x$ | $x \lt -2$ | $-2$ | $-2 \lt x \lt 0$ | $0$ | $x \gt 0$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $g'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Maximipunkt i $x = -2$, minimipunkt i $x = 0$. Två extrempunkter. Falskt.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Bestäm det största värde funktionen $$f(x) = x^3 - 3x$$ antar i intervallet $0 \le x \le 3$.
- Varför lockar det svaret? Tar värdet i den stationära punkten utan att kontrollera karaktären. I x = 1 har f ett minimum — alltså det minsta värdet, inte det största.
- Varför lockar det svaret? Hittar maximipunkten (−1, 2) — men x = −1 ligger utanför intervallet. Kandidaterna måste ligga i [0, 3].
- Varför lockar det svaret? Tänker på hela tallinjen, där x³ − 3x går mot +∞. På ett slutet intervall finns alltid både största och minsta värde.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ ger $x = \pm 1$. Bara $x = 1$ ligger i intervallet.
| $x$ | varför kandidat | $f(x)$ |
|---|---|---|
| $0$ | vänster ändpunkt | $0$ |
| $1$ | $f'(1) = 0$ | $-2$ ← minst |
| $3$ | höger ändpunkt | $18$ ← störst |
Största värdet är $18$, i ändpunkten $x = 3$. Derivatan hittar det aldrig — där är tangenten inte vågrät.
Alternativ B räknade rätt men på fel ställe: $x = -1$ är inte med.
2.4 Skissa grafer
Definitionsmängd, derivata, asymptoter.
| asymptot | hitta den så här |
|---|---|
| lodrät $x = a$ | nämnaren är $0$, täljaren inte |
| vågrät $y = m$ | $f(x) \to m$ när $x \to \pm\infty$ |
| sned $y = kx + m$ | skriv som summa av termer, resten $\to 0$ |
En asymptot kräver att avståndet till linjen går mot $0$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
En graf kan ha flera lodräta asymptoter.
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop lodräta och vågräta asymptoter. En graf kan ha högst en vågrät asymptot åt varje håll — men lodräta finns vid varje nollställe till nämnaren.
Exempel från förra gången: $$f(x) = \frac{3x^2}{x^2 - 4}$$ har de lodräta asymptoterna $x = 2$ och $x = -2$.
$y = \tan x$ har till och med oändligt många. Sant.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
$x$-axeln är en asymptot till kurvan $y = 2\sin x$.
- Varför lockar det svaret? Tänker att kurvan hela tiden återvänder till x-axeln och därför "hör ihop" med den. Men avståndet går inte mot noll — kurvan svänger upp till 2 hur långt ut man än går.
Avståndet mellan kurvan och $x$-axeln är $|2\sin x|$, som svänger mellan $0$ och $2$ hur långt ut man än går. Det går inte mot $0$.
Samma resonemang som $y = x + \sin x$ och linjen $y = x$ förra gången. Falskt.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Vilka asymptoter har $$f(x) = \frac{2x^2 + 5}{x}$$
- Varför lockar det svaret? Tar kvoten av koefficienterna, som för $\frac{3x^2}{x^2 - 4}$. Det fungerar bara när täljare och nämnare har samma grad.
- Varför lockar det svaret? Ser att täljaren växer snabbare än nämnaren och tror att det då inte finns någon mer asymptot. Men en växande funktion kan närma sig en sned linje.
- Varför lockar det svaret? Tror att den vågräta asymptoten alltid är $y = 0$, som för $\frac{1}{x}$.
Lodrät: nämnaren $x = 0$, täljaren $5 \ne 0$ där. Asymptot $x = 0$.
Sned: dela upp kvoten: $$f(x) = \frac{2x^2}{x} + \frac{5}{x} = 2x + \frac{5}{x}$$
När $x \to \pm\infty$ går $\frac{5}{x} \to 0$, och grafen närmar sig linjen $y = 2x$.
Rimlighet: $f(100) = 200{,}05$ — nära $2 \cdot 100$, inte nära $2$ eller $0$.
Dominerande term, en gång till
Välj $\dfrac{1}{x} + 2x + 1$ och säg asymptoterna högt innan du zoomar ut. Stämde det?
Inför provet
Tre vanor som ger poäng på vilken uppgift som helst.
- Skriv om innan du deriverar. Potenser i stället för bråk ($\dfrac{8}{x} = 8x^{-1}$), en kvot med $e$ i nämnaren som produkt, $\ln 3x = \ln 3 + \ln x$.
- En kandidat är inte ett svar. $f'(x) = 0$ ger kandidater. Teckentabellen, ändpunkterna och ”ej def.” avgör resten.
- Rimlighetskontroll. Derivatan har en enhet. Sätt in $x = 100$ för att testa en asymptot. Tecknet på $f'$ ska stämma med om kurvan växer.
Två kapitel, samma regel
Visa att största lutningen hos $y = 1{,}5\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ är $3$, inte $1{,}5$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Kedjeregeln: $y' = -1{,}5 \cdot 2 \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -3\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.
Sinus antar alla värden mellan $-1$ och $1$, så $y'$ antar alla värden mellan $-3$ och $3$.
Amplituden $1{,}5$ är funktionens största värde. Största lutningen är amplitud gånger inre derivata.
Största lutningen är $1{,}5 \cdot 2 = 3$.
Hitta felet
En elev deriverar $y = e^{x^2}$ och får $y' = x^2e^{x^2 - 1}$. Vad är fel?
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Eleven har använt potensregeln $D\,x^n = nx^{n-1}$, som gäller när basen är variabel och exponenten konstant. Här är det tvärtom.
Kedjeregeln med yttre $e^z$ och inre $z = x^2$: $y' = e^{x^2} \cdot 2x$.
Sammanfattning
- Kedjeregeln: en faktor per lager. Radianer.
- Produkt: två termer, plus. Kvot: täljarens derivata först, minus, nämnaren i kvadrat.
- $D\ln x = \dfrac{1}{x}$, $D\,a^x = a^x\ln a$, $D\tan x = 1 + \tan^2 x$.
- En differentialekvation har en funktion som lösning. $y' = ky$ ger $y = Ce^{kx}$.
- $f'(x) = 0$ ger kandidater. Teckentabell, ändpunkter och ”ej def.” avgör.
- Asymptot: avståndet till linjen går mot noll. Lodrät där nämnaren är noll.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
Faktor för faktor?
”En summa kan vi derivera term för term och en produkt faktor för faktor.” Ge ett motexempel som vem som helst kan kontrollera på en halv minut.
Ett sätt att tänka
Första halvan stämmer, andra inte. $y = x \cdot x = x^2$: faktor för faktor ger $1 \cdot 1 = 1$, men $y' = 2x$. Produktregeln ger $1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$ ✓.
f(g(x)) eller g(f(x))?
Har $y = f(g(x))$ och $y = g(f(x))$ alltid samma derivata? Pröva med $f(x) = \sin x$ och $g(x) = x^2$.
Ett sätt att tänka
Nej. $f(g(x)) = \sin x^2$ med derivatan $2x\cos x^2$, och $g(f(x)) = \sin^2 x$ med derivatan $2\sin x\cos x$. Olika funktioner, olika derivator.
Samma amplitud?
Har derivatorna till $y = 8\sin\dfrac{x}{2}$ och $y = \sin 4x$ samma amplitud? Samma period?
Ett sätt att tänka
Derivatorna är $4\cos\dfrac{x}{2}$ och $4\cos 4x$. Samma amplitud $4$, men perioderna $4\pi$ och $\dfrac{\pi}{2}$. Den inre derivatan krymper den ena amplituden och förstorar den andra, och de möts i $4$.
Konstruera en provfråga
Skriv ett eget sant/falskt-påstående om kapitel 2 som bygger på ett vanligt fel. Vilket fel är det?
Ett sätt att tänka
Bra påståenden testar en missuppfattning, inte en räkning: ”om $f'(a) = 0$ är $a$ en extrempunkt”, ”$\dfrac{1}{x^2}$ har den sneda asymptoten $y = 0$”, ”$\ln 5x$ har derivatan $\dfrac{5}{x}$”. Om påståendet går att läsa på två sätt, skriv om det tills det bara kan läsas på ett.