2.3 Uppgifter
Tillämpningar av deriveringsreglerna
Uppgifterna följer teorins avsnitt. Många svar är tal: skriv dem med decimalkomma eller som bråk, till exempel -3/2 eller 4,7. Flera lösningar skiljs åt med semikolon. I uppgifterna om grafer är motiveringen lika viktig som svaret, så rita teckentabellen på papper även när rutan bara frågar efter ett tal.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Vad derivatan säger om grafen
Läs teorin: 1. Vad derivatan säger om grafen →Funktionen $f(x) = x^2 - 6x + 1$ är given. För vilka $x$ är den växande, och för vilka är den avtagande?
$f'(x) = 2x - 6$, som är noll för $x = 3$.
$f'(x) < 0$ för $x < 3$ och $f'(x) > 0$ för $x > 3$.
Svar
Avtagande för $x \le 3$, växande för $x \ge 3$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Vad derivatan säger om grafen →
Visa att $f(x) = x^3 + x$ saknar stationära punkter. Vad säger det om grafen?
$f'(x) = 3x^2 + 1$. Eftersom $x^2 \ge 0$ är $f'(x) \ge 1$ för alla $x$, så derivatan är aldrig noll.
Kurvan växer överallt och har inga toppar, dalar eller terrasser.
Svar
$f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$, så $f$ är växande överallt.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Vad derivatan säger om grafen →
Teckentabell och andraderivata
Läs teorin: 2. Teckentabell och andraderivata →Bestäm alla stationära punkter till $f(x) = x^4 - 4x^3$ och avgör deras karaktär med en teckentabell.
Ledtråd
Bryt ut $4x^2$ ur derivatan. Vad händer med tecknet hos en kvadrat?
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$, som är noll för $x = 0$ och $x = 3$.
$4x^2$ är aldrig negativ, så tecknet styrs av $x - 3$:
$x$ $-1$ $0$ $1$ $3$ $4$ $f'(x)$ $-$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f(x)$ ↘ terrass ↘ min ↗ $f(0) = 0$ och $f(3) = 81 - 108 = -27$.
Svar
Terrasspunkt $(0, 0)$ och minimipunkt $(3, -27)$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Teckentabell och andraderivata →
För alla tre funktionerna $x^3$, $x^4$ och $-x^4$ är $f'(0) = 0$ och $f''(0) = 0$. Vilken karaktär har origo för var och en? Vad lär man sig av det?
$x^3$: derivatan $3x^2$ är positiv på båda sidor, terrasspunkt.
$x^4$: derivatan $4x^3$ går från minus till plus, minimipunkt. $-x^4$: från plus till minus, maximipunkt.
$f''(a) = 0$ säger ingenting om karaktären. Då måste man använda teckentabellen.
Svar
Terrass, minimum respektive maximum. $f''(0) = 0$ ger ingen slutsats.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Teckentabell och andraderivata →
En funktion har derivatan $f'(x) = (x + 1)(x - 2)^2$. Skissa en möjlig graf till $f$ och ange karaktären hos de stationära punkterna.
$(x - 2)^2 \ge 0$, så tecknet styrs av $x + 1$: minus för $x < -1$, plus för $x > -1$ (utom i $x = 2$, där derivatan är noll).
Kurvan avtar fram till $x = -1$, där den har ett minimum, och växer sedan. Vid $x = 2$ planar den ut i en terrass och fortsätter uppåt.
Grafen är bara bestämd upp till en förskjutning i höjdled.
Svar
Minimipunkt vid $x = -1$, terrasspunkt vid $x = 2$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Teckentabell och andraderivata →
Största och minsta värde
Läs teorin: 3. Största och minsta värde →Bestäm största och minsta värde av $f(x) = xe^{-x}$ på intervallet $0 \le x \le 3$.
$f'(x) = e^{-x}(1 - x) = 0$ ger $x = 1$.
Kandidater: $f(0) = 0$, $f(1) = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37$ och $f(3) = 3e^{-3} \approx 0{,}15$.
Svar
Största värdet $\dfrac{1}{e}$ (i $x = 1$), minsta $0$ (i ändpunkten $x = 0$).
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Största och minsta värde →
Av en kvadratisk plåt med sidan $30$ cm ska man göra en öppen låda genom att klippa bort lika stora kvadrater med sidan $x$ i hörnen och vika upp kanterna. Vilket $x$ ger största volym?
Ledtråd
Lådans botten har sidan $30 - 2x$ och höjden är $x$. Vilka $x$ är möjliga?
$V(x) = x(30 - 2x)^2$ för $0 \le x \le 15$.
$V'(x) = (30 - 2x)^2 + x \cdot 2(30 - 2x)(-2) = (30 - 2x)(30 - 6x)$. Noll för $x = 5$ och $x = 15$.
$V(0) = V(15) = 0$ och $V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000$.
Svar
$x = 5$ cm ger största volymen, $2000$ cm³ $= 2$ liter.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Största och minsta värde →
Derivatan som förändringshastighet
Läs teorin: 4. Derivatan som förändringshastighet →Temperaturen i ett kylskåp efter att dörren stängts är $T(t)$ °C, där $t$ är tiden i minuter. Man vet att $T(10) = 8$ och $T'(10) = -0{,}5$. Tolka båda uttrycken i ord, med enheter.
$T(10) = 8$: tio minuter efter att dörren stängts är temperaturen $8$ °C.
$T'(10) = -0{,}5$: just då sjunker temperaturen med $0{,}5$ °C per minut.
Svar
Efter $10$ minuter är det $8$ °C, och temperaturen sjunker då med $0{,}5$ °C/min.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Derivatan som förändringshastighet →
En stads befolkning $P(t)$, med $t$ i år efter 2020, uppfyller $P(5) = 48\,000$ och $P'(5) = 1\,200$. Skriv en mening som en journalist kunde publicera, utan orden ”derivata” eller $P'$.
Till exempel: ”År 2025 hade staden $48\,000$ invånare och växte då med ungefär $1\,200$ invånare per år.”
Båda talen ska vara med, med rätt enheter: invånare respektive invånare per år.
Svar
”2025 bodde $48\,000$ personer i staden, och befolkningen ökade då med cirka $1\,200$ per år.”
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Derivatan som förändringshastighet →
Kedjeregeln mellan två hastigheter
Läs teorin: 5. Kedjeregeln mellan två hastigheter →En cirkelformad oljefläck växer så att radien ökar med $3$ m/h. Hur snabbt växer arean när $r = 10$ m, och när $r = 20$ m? Varför är svaren olika?
$\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot 3 = 6\pi r$.
$r = 10$: $60\pi \approx 188$ m²/h. $r = 20$: $120\pi \approx 377$ m²/h.
Arean växer i kanten, och omkretsen $2\pi r$ blir längre ju större fläcken är.
Svar
Ungefär $188$ m²/h respektive $377$ m²/h.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Kedjeregeln mellan två hastigheter →
En snöboll smälter så att volymen minskar med $10$ cm³ per minut. Hur snabbt minskar radien när radien är $5$ cm?
Ledtråd
Nu är $\dfrac{dV}{dt}$ känd och $\dfrac{dr}{dt}$ söks. Samma kedja, löst åt andra hållet.
$\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \dfrac{dr}{dt}$, med $\dfrac{dV}{dt} = -10$.
Vid $r = 5$: $-10 = 100\pi \cdot \dfrac{dr}{dt}$, så $\dfrac{dr}{dt} = -\dfrac{1}{10\pi} \approx -0{,}032$ cm/min.
Svar
Radien minskar med ungefär $0{,}032$ cm per minut.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Kedjeregeln mellan två hastigheter →
Blandat, som på tentan
Uppgifter i tentastil. Skriv lösningarna på papper med motiveringar innan du tittar.
Bestäm extrempunkterna till $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ och avgör deras karaktär.
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$, noll för $x = 1$ och $x = 3$.
$f''(x) = 6x - 12$: $f''(1) = -6 < 0$, max. $f''(3) = 6 > 0$, min.
$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ och $f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$.
Svar
Maximipunkt $(1, 5)$ och minimipunkt $(3, 1)$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Teckentabell och andraderivata →
Bestäm extrempunkterna till $y = \dfrac{2 - x}{x^3}$.
Skriv $y = 2x^{-3} - x^{-2}$. Då är $y' = -6x^{-4} + 2x^{-3} = \dfrac{2x - 6}{x^4}$.
$y' = 0$ för $x = 3$. Nämnaren $x^4$ är positiv, så tecknet styrs av $2x - 6$: minus före $3$, plus efter. Minimipunkt.
$y(3) = \dfrac{-1}{27}$. (Funktionen är inte definierad i $x = 0$.)
Svar
Minimipunkt $\left(3, -\dfrac{1}{27}\right)$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Teckentabell och andraderivata →
Bestäm största och minsta värde av $f(x) = x - 2\sin x$ på intervallet $0 \le x \le \pi$.
$f'(x) = 1 - 2\cos x = 0$ ger $\cos x = \dfrac{1}{2}$, alltså $x = \dfrac{\pi}{3}$ i intervallet.
$f(0) = 0$, $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3} - \sqrt3 \approx -0{,}69$ och $f(\pi) = \pi$.
Svar
Största värdet $\pi$ (i $x = \pi$), minsta $\dfrac{\pi}{3} - \sqrt3$ (i $x = \dfrac{\pi}{3}$).
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Största och minsta värde →
En snöskulptur har formen av ett klot och smälter så att radien minskar med $3$ mm/h. Med vilken hastighet ändras volymen när radien är $4$ dm?
$\dfrac{dr}{dt} = -3$ mm/h $= -0{,}03$ dm/h.
$\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2 = 64\pi$ vid $r = 4$.
$\dfrac{dV}{dt} = 64\pi \cdot (-0{,}03) = -1{,}92\pi \approx -6{,}0$ dm³/h.
Svar
Volymen minskar med ungefär $6{,}0$ dm³/h.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Kedjeregeln mellan två hastigheter →