2.1 Uppgifter
Deriveringsregler I
Uppgifterna följer teorins avsnitt. Skriv derivator med sin, cos, e^(...) och ^ för potens, till exempel -12e^(2-3x) eller 10sin(2x)^4 cos(2x). Under rutan ser du hur ditt svar tolkas innan du skickar det. Räknaren ska stå i RAD.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Vad derivatan är
Läs teorin: 1. Vad derivatan är →Var på intervallet $0 \le x \le 2\pi$ är lutningen hos $y = \sin x$ lika med noll? Var är den mest negativ? Svara utan att derivera, bara genom att tänka på kurvans form.
Lutningen är noll där kurvan är vågrät: i toppen $x = \dfrac{\pi}{2}$ och i botten $x = \dfrac{3\pi}{2}$.
Mest negativ där kurvan går brantast nedåt, när den korsar mittlinjen på väg ned: $x = \pi$. Där är lutningen $-1$.
Svar
Noll vid $\dfrac{\pi}{2}$ och $\dfrac{3\pi}{2}$, mest negativ vid $\pi$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Vad derivatan är →
Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$
Läs teorin: 2. Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ →Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan $y = \sin x$ i punkten där $x = \pi$.
Ledtråd
Tangenten går genom punkten $(\pi, \sin \pi)$ och har lutningen $y'(\pi)$.
Punkten: $(\pi, \sin\pi) = (\pi, 0)$.
Lutningen: $y' = \cos x$, så $k = \cos\pi = -1$.
Enpunktsformen: $y - 0 = -1 \cdot (x - \pi)$, alltså $y = \pi - x$.
Svar
$y = -x + \pi$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ →
Beräkna lutningen hos $y = \sin x$ nära $x = 0$ genom att räkna $\dfrac{\sin h}{h}$ för $h = 0{,}01$, först med räknaren i RAD och sedan i DEG. Förklara skillnaden.
RAD: $\dfrac{\sin 0{,}01}{0{,}01} \approx 0{,}99998 \approx 1$.
DEG: $\dfrac{\sin 0{,}01^\circ}{0{,}01} \approx 0{,}01745 \approx \dfrac{\pi}{180}$.
I grader är varje enhet på $x$-axeln mycket kortare, så kurvan blir utsträckt och lutningen liten. Bara i radianer blir derivatan av $\sin x$ exakt $\cos x$.
Svar
$1$ i radianer, $\dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}0175$ i grader.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ →
Sammansatta funktioner
Läs teorin: 3. Sammansatta funktioner →Ange inre och yttre funktion:
a) $\cos 4x$ b) $(2x + 1)^6$ c) $e^{x^2}$ d) $\sin^3 x$
a) Inre $4x$, yttre $\cos z$.
b) Inre $2x + 1$, yttre $z^6$.
c) Inre $x^2$, yttre $e^z$.
d) $\sin^3 x = (\sin x)^3$: inre $\sin x$, yttre $z^3$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Sammansatta funktioner →
Derivera $y = \sin(x^2)$ och $y = \sin^2 x$.
Ledtråd
Vad görs först med $x$ i vart och ett av uttrycken?
$\sin(x^2)$: inre $x^2$, yttre $\sin z$. $y' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$.
$\sin^2 x$: inre $\sin x$, yttre $z^2$. $y' = 2\sin x \cdot \cos x$, som med dubbla vinkeln är $\sin 2x$.
Svar
$2x\cos(x^2)$ respektive $2\sin x\cos x = \sin 2x$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Sammansatta funktioner →
Kedjeregeln
Läs teorin: 4. Kedjeregeln →Hur stor kan lutningen hos kurvan $y = 3\sin 4x$ som mest bli? Ange ett $x$ där den är så stor.
$y' = 3 \cdot 4\cos 4x = 12\cos 4x$.
$\cos 4x$ är som störst $1$, till exempel vid $x = 0$. Största lutningen är alltså $12$.
Svar
$12$, till exempel vid $x = 0$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Kedjeregeln →
Hitta en funktion $F(x)$ vars derivata är $F'(x) = 6e^{3x} + \cos 2x$. Kontrollera ditt svar genom att derivera det.
Ledtråd
Gissa och justera. Vad blir derivatan av $e^{3x}$? Av $\sin 2x$? Vilka konstanter behövs för att det ska stämma?
$D\,e^{3x} = 3e^{3x}$, så $D\,2e^{3x} = 6e^{3x}$.
$D\sin 2x = 2\cos 2x$, så $D\,\tfrac12 \sin 2x = \cos 2x$.
$F(x) = 2e^{3x} + \tfrac{1}{2}\sin 2x$ (plus en valfri konstant). Kontroll: $F'(x) = 6e^{3x} + \cos 2x$ ✓.
Svar
$F(x) = 2e^{3x} + \dfrac{1}{2}\sin 2x + C$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Kedjeregeln →
Numerisk ekvationslösning
Läs teorin: 5. Numerisk ekvationslösning →Ekvationen $e^{-x} = x$ har en lösning mellan $0$ och $1$. Gör tre steg med intervallhalvering för $f(x) = e^{-x} - x$ och ange ett intervall av längden $0{,}125$ som innehåller lösningen.
$f(0) = 1 > 0$, $f(1) \approx -0{,}63 < 0$. Mittpunkt $0{,}5$: $f(0{,}5) \approx 0{,}11 > 0$. Nytt intervall $[0{,}5;\ 1]$.
Mittpunkt $0{,}75$: $f(0{,}75) \approx -0{,}28 < 0$. Nytt intervall $[0{,}5;\ 0{,}75]$.
Mittpunkt $0{,}625$: $f(0{,}625) \approx -0{,}09 < 0$. Nytt intervall $[0{,}5;\ 0{,}625]$.
Svar
Lösningen ligger i $[0{,}5;\ 0{,}625]$. (Den är ungefär $0{,}567$.)
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Numerisk ekvationslösning →
Blandat, som på tentan
Uppgifter i tentastil. Skriv lösningarna på papper med motiveringar innan du tittar.
Derivera och förenkla:
a) $f(x) = 4\cos\dfrac{x}{2}$ b) $g(x) = e^{\sin x}$ c) $h(x) = (1 - x^2)^4$
a) $f'(x) = 4 \cdot \left(-\sin\dfrac{x}{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2} = -2\sin\dfrac{x}{2}$.
b) Yttre $e^z$, inre $\sin x$: $g'(x) = e^{\sin x}\cos x$.
c) $h'(x) = 4(1 - x^2)^3 \cdot (-2x) = -8x(1 - x^2)^3$.
Svar
a) $-2\sin\dfrac{x}{2}$ b) $e^{\sin x}\cos x$ c) $-8x(1 - x^2)^3$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Kedjeregeln →
Kurvan $y = 2\sin 3x$ är given. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten där $x = \dfrac{\pi}{9}$. Svara exakt.
Punkten: $y\left(\dfrac{\pi}{9}\right) = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Lutningen: $y' = 6\cos 3x$, så $k = 6\cos\dfrac{\pi}{3} = 3$.
Tangenten: $y - \sqrt{3} = 3\left(x - \dfrac{\pi}{9}\right)$, alltså $y = 3x - \dfrac{\pi}{3} + \sqrt{3}$.
Svar
$y = 3x + \sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ →
Visa att funktionen $y = \cos^2 x + \sin^2 x$ har derivatan $0$, på två sätt: med kedjeregeln och med trigonometriska ettan.
Kedjeregeln: $y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) + 2\sin x \cdot \cos x = 0$.
Ettan: $y = 1$ för alla $x$, och en konstant har derivatan $0$.
Två vägar till samma svar är ett bra sätt att kontrollera en räkning.
Svar
$y' = 0$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Kedjeregeln →