R1 Uppgifter
Repetition av kapitel 1
Repetition av hela kapitel 1. Börja med sant eller falskt: svara, och motivera för dig själv innan du tittar. Sedan en uppgift av varje sort från lektion 1–4, och sist ett provpass. Uppgifter du kör fast på länkar tillbaka till repetitionen, och därifrån vidare till lektionen där saken förklaras.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Sant eller falskt
Läs teorin: 1. Kapitlet på en sida →Skriv sant eller falskt. Ett svar utan motivering är värt noll på provet, så formulera en mening för dig själv innan du svarar.
Enhetscirkeln och ekvationerna
Läs teorin: 2. 1.1 Enhetscirkeln och ekvationerna →Formlerna
Läs teorin: 3. 1.2 Formlerna →Kurvorna
Läs teorin: 4. 1.3 Kurvorna →Radianer
Läs teorin: 5. 1.4 Radianer →$\cos x = 0{,}4$ har lösningen $x_1 \approx 1{,}16$. Ange den andra lösningen i intervallet $0 \le x \le 2\pi$ med två decimaler, och kontrollera den på räknaren.
Cosinus speglas i $x$-axeln: $-1{,}16$. I intervallet blir det $2\pi - 1{,}16 \approx 5{,}12$.
Kontroll i RAD: $\cos 5{,}12 \approx 0{,}40$ ✓. (Den som tog $\pi - 1{,}16 \approx 1{,}98$ får $\cos 1{,}98 \approx -0{,}40$ ✗.)
Svar
$x \approx 5{,}12$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. 1.4 Radianer →
Provpass, hela kapitlet
Fyra uppgifter som liknar ett prov. Sätt en klocka på 40 minuter, skriv fullständiga lösningar på papper, och rätta dig själv efteråt.
a) Bestäm $\sin 300^\circ$ och $\cos \dfrac{3\pi}{4}$ exakt. b) Lös $2\cos v + 1 = 0$ för $0^\circ \le v < 360^\circ$.
a) $300^\circ$: fjärde kvadranten, referensvinkel $60^\circ$, $\sin 300^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. $\dfrac{3\pi}{4} = 135^\circ$: andra kvadranten, referensvinkel $45^\circ$, $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
b) $\cos v = -\tfrac12$: $v_1 = 120^\circ$ och speglingen i $x$-axeln $-120^\circ$, i intervallet $240^\circ$.
Svar
a) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ och $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ b) $120^\circ$ och $240^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. 1.1 Enhetscirkeln och ekvationerna →
Vinkeln $v$ ligger i fjärde kvadranten och $\cos v = \dfrac{12}{13}$. Bestäm $\sin v$, $\sin 2v$ och $\cos 2v$ exakt.
Ettan: $\sin^2 v = 1 - \tfrac{144}{169} = \tfrac{25}{169}$. Fjärde kvadranten: $\sin v = -\tfrac{5}{13}$.
$\sin 2v = 2 \cdot \left(-\tfrac{5}{13}\right) \cdot \tfrac{12}{13} = -\tfrac{120}{169}$.
$\cos 2v = 2\cos^2 v - 1 = \tfrac{288}{169} - 1 = \tfrac{119}{169}$. Kontroll: $\left(\tfrac{120}{169}\right)^2 + \left(\tfrac{119}{169}\right)^2 = 1$ ✓.
Svar
$\sin v = -\tfrac{5}{13}$, $\sin 2v = -\tfrac{120}{169}$, $\cos 2v = \tfrac{119}{169}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. 1.2 Formlerna →
En kurva $y = A\sin k(x + v) + B$ har största värdet $7$, minsta värdet $-1$, och en topp vid $x = 30^\circ$. Nästa topp ligger vid $x = 150^\circ$. Bestäm $A$, $k$, $B$ och ett möjligt $v$.
$B = \dfrac{7 + (-1)}{2} = 3$ och $A = \dfrac{7 - (-1)}{2} = 4$.
Perioden är $150^\circ - 30^\circ = 120^\circ$, alltså $k = 3$.
Sinus toppar när $k(x + v) = 90^\circ$: $3(30^\circ + v) = 90^\circ$ ger $v = 0^\circ$. Kurvan är $y = 4\sin 3x + 3$.
Kontroll: $x = 30^\circ$ ger $4\sin 90^\circ + 3 = 7$ ✓.
Svar
$A = 4$, $k = 3$, $B = 3$, $v = 0^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. 1.3 Kurvorna →
Lös $\sin 2x = \sqrt{3}\cos x$ för $0 \le x < 2\pi$. Svara exakt.
Ledtråd
Dubbla vinkeln, flytta över, faktorisera. Dela inte med $\cos x$.
$2\sin x\cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \iff \cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$.
$\cos x = 0$: $x = \dfrac{\pi}{2}$ och $x = \dfrac{3\pi}{2}$.
$\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = \dfrac{\pi}{3}$ och $x = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.
Svar
$x = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{3\pi}{2}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. 1.4 Radianer →